Enunciado

Para o limite

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 x = 2

ilustre a Definição 2 encontrando os valores de δ que correspondam a ε = 0,5 e ε = 0,1 .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ e 2 x - 1 x = 2

E o enunciado pede pra a gente aplicar a definição 2 de limite no limite acima, achando os valores de δ para a ϵ = 0 , 5 e ϵ = 0,1 . Vamos então relembrar a definição de limite:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ϵ > 0 houver um número δ > 0 tal que:

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ

Vamos reescrever essas condições sem os módulos e substituir nossas condições pra ficar mais fácil de visualizar:

- δ < x - 0 < δ

- ϵ < f x - 2 < ϵ

Agora, bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Para ϵ = 0,5 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

- 0,5 < e 2 x - 1 x - 2 < 0,5

Somando 2 em cada parcela da inequação:

1,5 < e 2 x - 1 x < 2,5

Agora a gente precisa achar f ( x ) que corresponde a 1,5 e 2,5 . Para isso vamos plotar o gráfico e procurar:

Dessa forma podemos dizer que:

- 0,303 < x < 0,205

Lembrando que:

- δ < x < δ

Assim:

δ = 0,303

δ = 0 , 205

Substituindo os dois casos, temos:

- 0,303 < x < 0,303

- 0,205 < x < 0,205

Então δ = 0,205 já que esse é o único que respeita o nosso intervalo - 0,303 < x < 0,205 .

Passo 3

Agora, para ϵ = 0,1 , a definição de um limite requer que ache um δ tal que

- 0,1 < e 2 x - 1 x - 2 < 0 , 1

Somando 2 em cada parcela da inequação:

1,9 < e 2 x - 1 x < 2,01

Agora a gente precisa achar f ( x ) que corresponde a 1,9 e 2 , 01 . Vamos procurar no gráfico:

Dessa forma podemos dizer que:

- 0 , 052 < x < 0 , 048

Assim:

δ = 0 , 052

δ = 0 , 048

Pegamos então o menor δ , δ = 0,048

porque a gente tem certeza que ele vai encaixar no nosso intervalo!

Resposta

δ = 0,205

δ = 0,048

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