Enunciado

Para o limite

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 3 x x 2 + 1 = 3

Ilustre a Definição 8 encontrando os valores de N que corresponde a ε = 0,1 e ε = 0,05 .

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foi dado o limite

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 3 x x 2 + 1 = 3

E nosso objetivo é aplicar a Definição 8 e encontrar os valores de N que correspondem a ε = 0,1 e ε = 0,05 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Bom pessoal, vamos ver o que diz a Definição 8:

Seja f uma função definida em um intervalo a , ∞ . Então:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = L

Significa que para todo ε > 0 existe um numero N correspondente tal qual:

S e   x < N           e n t ã o   f x - L < ε

Sacou? Bora aplicar essa definição ao nosso problema!

Passo 2

Então nós vamos fazer o caminho contrário. Temos a seguinte relação:

f x - L < ε

Onde L = 3 , ou seja

1 - 3 x x 2 + 1 - 3 < ε

Tirando o módulo, ficamos com:

- ε < 1 - 3 x x 2 + 1 - 3 < ε

3 - ε < 1 - 3 x x 2 + 1 < ε + 3

Agora é só substituir ε ...

Para ε = 0,1 , temos a relação:

3 - 0,1 < 1 - 3 x x 2 + 1 < 3 + 0,1

Então y = 3,1   e   y = 2,9 .

Plotando o gráfico da função f ( x ) com o auxílio de uma ferramenta gráfica, podemos ver quais valores de x correspondem aos y achados acima.

Para y = 3,1   t e m o s   q u e   x ≈ - 8,1 . Então, podemos estabelecer um numero N imediatamente menor:

N = - 9

De modo que, para qualquer:

x < - 9       e n t ã o   1 - 3 x x 2 + 1 - 3 < 0,1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Para ε = 0,05 , faremos a mesma coisa:

3 - 0,05 < 1 - 3 x x 2 + 1 < 3 + 0,05

Então y = 3,05   e   y = 2,95 .

Plotando o gráfico da função f ( x ) , podemos ver quais valores de x correspondem aos y achados acima.

Para y = 3,05   t e m o s   q u e   x ≈ - 18,1 . Então, podemos estabelecer um numero N imediatamente menor:

N = - 19

De modo que, para qualquer:

x < - 19             e n t ã o   1 - 3 x x 2 + 1 - 3 < 0,05

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

ε = 0 , 1 → N = - 9

ε = 0,05 → N = - 19

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a definição 2.4 . 1 para provar que lim x → - 3 ⁡ 5 - x 3 + x = + ∞ Definição 2.4 . 1 :Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I contendo a , exceto possivelmente no própr
Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele: f x = 5 x 2 + 8 x + 15
Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele: f x = - 2 x + 3
Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele: f x = - 2 x + 3 2
Para cada uma das funções a seguir, ache a assíntota vertical do gráfico e faça um esboço dele: f x = - 4 x - 5