Enunciado

Esboce o gráfico de uma função f que é continua no domínio - 2,2 e onde f ' ( 0 ) = - 2 , lim x → 2 - ⁡ g x = ∞ ,   f é contínua para todos os números no domínio, exceto ± 1 , e f é impar.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema nosso objetivo é esboçar o gráfico de uma função continua no intervalo x ∈ - 2,2 exceto em x = ± 1 sendo que f ' ( 0 ) = - 2 e lim x → 2 - ⁡ g x = ∞ .

E como ele não nos dá a lei de formação da função, vamos analisar cada pedacinho das características ditas pelo enunciado.

E traçar uma função que respeita todas essas características. Ou seja, a ideia aqui é ir construindo uma curva genérica que obedeça às regrinhas dadas

Tem ideia de como fazer isso? Vem que te ajudo 🤔

Passo 2

Bom pessoal, vamos começar esboçando partes do gráfico.

Temos que:

f ' ( 0 ) = - 2 → Isto é, a inclinação da tangente da curva no ponto em que x = 0 é - 2 .

Ou seja, ela será decrescente ao cortar o eixo y , e sua reta tangente tem inclinação é de - 2 .

Outra informação que o enunciado também nos dá é de que f é uma função ímpar. Então ela passará pela origem do eixo cartesiano.

Como ainda temos pouca informação sobre ela, vou desenhar aqui só a reta tangente a ela na origem.

Passo 3

A próxima informação que vamos usar é a de que:

lim x → 2 - ⁡ f x = ∞

Quando um limite vai para o infinito em um valor específico de x , temos uma assíntota vertical. Ou seja, a função se aproxima de uma reta vertical que corta o eixo x naquele ponto específico.

Para esse caso em x = 2 pela esquerda, com a curva subindo até infinito.

Passo 4

O enunciado também nos diz que a função f que é continua no domínio - 2,2 exceto ± 1 , e f é ímpar. Então vamos completar a curva que já temos deixando um buraco nela para x = ± 1

Lembrando que f é ímpar, então a função pode ter as seguintes características...

E aí! entendeu? Responde Aí! 😉

Resposta

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