Enunciado

Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico.

y = 1 1 + e 1 / x

Passo 1

O enunciado fornece uma função e pede para que localizemos as descontinuidades da função e esbocemos o seu gráfico. Para isso, vamos utilizar os teoremas mostrados na seção do livro (teoremas 4, 5, 7 e 9).

O teorema 4 afirma que a soma, subtração, produto e quociente de funções contínuas é uma função contínua.

O teorema 5 afirma que todos os polinômios e funções racionais (quociente de polinômios) são funções contínuas em seus domínios.

O teorema 7 afirma que todas as funções raízes, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em seus domínios.

Já o teorema 9 afirma que a composta de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Pelos teoremas 5 e 7, e x e 1 / x são funções contínuas em seus domínios. Assim, pelo teorema 9 (das funções compostas), e 1 / x também é contínua em seu domínio. Desta forma, pelo teorema 4, 1 + e 1 / x é uma função contínua em seu domínio e, consequentemente, y é uma função contínua em seu domínio.

Passo 3

Como y é uma função contínua em seu domínio, suas descontinuidades serão os pontos que não pertencem ao domínio da função.

O domínio da função exponencial não tem restrições. Além disso, como a exponencial é sempre positiva, 1 + e 1 / x > 1 e, portanto, nunca se anula. Assim, a única restrição para o domínio de y é que x ≠ 0 devido ao termo 1 / x na exponencial.

Desta forma, a única descontinuidade de y ocorre em x = 0 .

Passo 4

Note no esboço do gráfico de y que a função realmente é descontínua em x = 0 .

Resposta

R: x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 69 a 72, determine o maior intervalo (ou união de intervalos) no qual a função fog do exercício indicado seja contínua.72) Exercício 66.
Nos exercícios de 69 a 72, determine o maior intervalo (ou união de intervalos) no qual a função fog do exercício indicado seja contínua.69) Exercício 63. f x = x ; g x = 25 - x 2
Nos exercícios de 69 a 72, determine o maior intervalo (ou união de intervalos) no qual a função fog do exercício indicado seja contínua.70) Exercício 64.
Nos exercícios de 69 a 72, determine o maior intervalo (ou união de intervalos) no qual a função fog do exercício indicado seja contínua.71) Exercício 65.
Nos exercícios de 63 a 68, defina fοg e determine os números nos quais fοg é contínua.67) f x = s g nx ; g x = x 2 - 1