Enunciado

Um lote retangular deve ser cercado de forma que a área interna seja de 400   m 2 . Sejam L o comprimento da cerca necessária e x o comprimento de um lado do retângulo; mostre que L = 2 x + 800 x para x > 0 e esboce o gráfico de L versus x para x > 0 .

Passo 1

Então pessoal, como a área interna tem que ser 400   m 2 , então temos que:

x y = 400

Então o perímetro L da cerca é:

L = 2 x + 2 y

É claro, isso só é possível por ser um retângulo, ok? Show! Se isolarmos y da expressão da área, teremos:

y = 400 x

Substituindo na expressão de L , teremos:

L = 2 x + 2.400 x

L ( x ) = 2 x + 800 x

Que é exatamente o que queríamos demonstrar!

Passo 2

Para esboçarmos o gráfico de L versus x temos que determinar os pontos críticos da função L x , para podermos encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão (se existirem). Derivando L x teremos:

L ' x = 2 - 800 x 2

L ' x = 2 x 2 - 400 x 2

Igualando nossa derivada a zero:

2 x 2 - 400 x 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

x 2 - 400 = 0

x = ± 20

Como x > 0 , então podemos desprezar x = - 20 , ok? Ok, descobrimos que x = 20 é um ponto crítico. Se adotarmos valores de x menores que 20 e depois maiores que 20 notaremos que a derivada passa de negativa para positiva, o que indica um ponto de mínimo.

Passo 3

Por fim, vamos ver se a função apresenta pontos de inflexão:

L ' ' x = 2.800 x 3

L ' ' x = 1600 x 3

Como x > 0 , então não há valores para que L ' ' x seja nula. Dessa forma, teremos um gráfico parecido com:

No qual a função em azul é a reta y = 2 x , que é nosso limite oblíquo! E está aí nossa resolução, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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