Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x + 1

Nesse caso, basta calcularmos o seguinte:

L = ln ⁡ lim x → ∞ ⁡ x x + 1

Então vamos separar pra não ficar confuso, vamos chamar o que está dentro do l n de L 2 .

L 2 = lim x → ∞ ⁡ x x + 1

Fazendo x = ∞ :

L = ∞ ∞ + 1

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L 2 = lim x → ∞ ⁡ x x + 1

Derivando,

L 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + 0

Assim,

L 2 = 1

Pra finalizar, basta voltarmos para o limite L :

L = ln ⁡ L 2

Como L 2 = 1 :

L = ln ⁡ 1

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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Calculec) lim x → + ∞ ⁡ e 2 x x 3
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Calculea) lim x → 1 - ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1
Calculec) lim x → 0 + ⁡ x e 1 x