Enunciado

Uma luz de rua é colocada no topo de um pote de 15 pés. Um homem com 6 pés de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 5 pés/s de acordo com uma trajetória reta. Com que velocidade se move o topo de sua sombra quando ele está a 40 pés do poste?

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que tem um carinha (que mora logo ali, já dizia o Chris) com uma altura de 6 pés e que anda com uma velocidade constante também. Sabendo disso, ele nos pede como a distância varia de acordo com a velocidade da cabeça da sombra a partir do momento que o homem passa pelo poste e está a 40 pés dele.

Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser definir as nossas variáveis do problema.

Com relação à velocidade, temos que:

d x d t = 5 p é s / s

Bom, como sabemos que o poste tem 15 pés, temos que a distância entre ele e o homem será de 40 pés. Como queremos saber a relação da distância (podemos dizer que é a variação do nosso cateto – aquele refletido no chão -, uma vez que teremos um cateto equivalendo à altura do poste e a hipotenusa sendo a projeção da luz do poste até a cabeça da sombra) a partir de 40 pés, vamos ter a seguinte variação para achar:

d ( x + y ) d t ,   p a r a   q u a n d o   x = 40   p é s .

Passo 3

Já vimos que são dois triângulos retângulos, então nos resta aplicar a semelhança entre eles.

15 6 = x + y y

y = 2 x 3

Derivando:

  d ( x + y ) d t = d ( x + 2 x 3 ) d t

d ( x + y ) d t = 5 3 . d x d t

d x + y d t = 25 3   p é s / s

Prontinho!

Resposta

d x + y d t = 25 3   p é s / s

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