Enunciado

Uma escada com 10   p é s de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2   p é s / s , quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é   π 4 r a d ?

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que uma escada de altura 10   p é s está apoiada numa parede, mas que sua base está escorregando a uma velocidade constante de 2   p é s / s , e nos pede a velocidade que o ângulo diminui cada vez que a escada cai, sabendo que ela já está com ângulo igual a   π 4 r a d .

Tem ideia de como fazemos isso?

Nesse problema temos que relacionar o ângulo que a escada varia com relação a horizontal com a velocidade da base da escada.

Pra isso podemos desenvolver uma função que nos dê o ângulo em função da distância horizontal que a base da escada está da parede. Assim, derivando com relação a t podemos substituir os valores do enunciado e resolver o problema.

Veja só!

Passo 2

Primeiro vamos desenhar o problema para podemos visualizar o que estamos fazendo...

Nosso primeiro passo vai ser achar a relação com o ângulo:

Perceba que podemos relacionar o valor de x com o ângulo θ pela lei do seno...

sin ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = x 10

Assim, θ e x são funções que variam com o tempo pois a escada está escorregando.

Então para encontrar a taxa de variação de ambos com relação ao tempo derivamos em t

d sin ⁡ θ d t = d x 10 d t = 1 10 d x d t

Como vimos anteriormente, θ é uma função de t , então para calcular a derivada de sin ⁡ θ temos que aplicar a regra da cadeia.

d sin ⁡ θ d t = cos ⁡ θ d θ d t

Substituindo na equação

cos ⁡ θ d θ d t = 1 10 d x d t

Estamos interessados na variação de θ , então vamos isolá-lo em um lado da igualdade

d θ d t = 1 10 cos ⁡ θ d x d t

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Por fim, temos que substituir os valores dados no enunciado para descobrir a variação do ângulo θ .

Foi dado que d x d t = 2   p é s / s e queremos saber a variação de θ quando θ = π / 4 .

Substituindo em d θ / d t

d θ d t = 1 10 cos ⁡ θ d x d t

d θ d t = 1 10 cos ⁡ π 4 2

d θ d t = 2 5   r a d / s

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d θ d t = 2 5   r a d / s

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