Enunciado

Quando a capitalização é feita de maneira contínua, a quantidade de dinheiro S aumenta a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo: d S d t = r S , em que r é a taxa anual de juros (veja (26) da seção 1.2).

a) Encontre a quantidade de dinheiro acumulado no final de 5 anos, quando R $   5000 são depositados em uma poupança com taxa anual de juros de 5,75 % e capitalização contínua.

b) Em quantos anos a soma inicial depositada duplicará?

c) Use uma calculadora e compare o número obtido na parte (a) com o valor

S = 5000 . 1 + 0,0575 4 5 4

Esse valor representa a quantidade acumulada quando a capitalização é trimestral.

Passo 1

Vamos lá galera

A primeira informação que vamos usar nesse exercício é a equação diferencial

d S d t = r S

Isso é uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita como como d S d t + A t . S = B ( t ) , olha:

d S d t - r . S = 0

A solução de uma equação diferencial linear é dada por:

S ( t ) = 1 I t ∫ I t . B t   d t + c     ( I I )

Onde I t = e ∫ A t   d t

Na nossa equação ( I ) , temos A t = - r e B t = 0 então:

I t = e ∫ - r   d t

I t = e - r t

Então temos nosso fator de integração.

Vamos substituir as informações que temos na equação ( I I ) :

S t = 1 e - r t ∫ 0   d t + c

S t = c . e r t

Sendo c = S 0

S t = S 0 . e r t

Passo 2

a) Agora vamos pro item a. Aqui ele quer saber quanto dinheiro vai ser acumulado em t = 5   a n o s se S 0 = 5000 e r = 5,75 % ao ano.

Temos lá do passo 1:

S t = S 0 . e r t

Substituindo os valores:

S 5 = 5000 . e 0,0575.5

Então, ao final de 5 anos temos:

S 5 = R $   6665,45

Passo 3

b) Na letra b ele quer saber quanto tempo t vai demorar pra que o valor inicial duplique, ou seja, queremos S t = 2.5000 = 10000 . Vamos aplicar isso na fórmula:

S t = S 0 . e r t

10000 = 5000 . e 0,0575 . t

e 0,0575 . t = 2

0,0575 . t = ln ⁡ 2

t = ln ⁡ 2 0,0575

Então:

t ≅ 12   a n o s

Esse é o tempo pro valor inicial dobrar :O

Passo 4

c) Primeiro vamos calcular o que ele deu:

S = 5000 . 1 + 0,0575 4 20

Usando a calculadora, temos

S ≅ 6651,82

Enquanto na letra a encontramos:

S 5 = R $   6665,45

Bom, então dá uma diferença aí quando a capitalização é trimestral né, mas é pouca coisa hehe

Resposta

a) S 5 = R $   6665,45

b) t ≅ 12   a n o s

c) S ≅ 6651,82

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