Enunciado

Tanto x quanto y denotam funções de t que estão relacionadas pela equação dada. Use essa equação e a informação sobre a derivada para encontrar a derivada especificada.

Equação: 4 x 2   +   9 y 2   =   1

(a) Dado que d x d t = 3 , encontre d y d t quando

x , y = 1 2 2 , 1 3 2  

(b) Dado que d y d t = 8 , encontre d x d t quando

x , y = 1 3 , - 5 9

Passo 1

Como o enunciado nos dá dados sobre a derivada em relação a t , vamos derivar em relação a t :

d d t ( 4 x 2   +   9 y 2 )   = d d t 1

d ( 4 x 2 ) d x + d ( 9 y 2 ) d t = 0

d 4 x 2 d x   d x d t + d 9 y 2 d y d t d t = 0

8 x d x d t = - 18 y d y d t

Então chegamos na seguinte relação:

4 x d x d t = - 9 y d y d t

Passo 2

(a)

Como d x d t = 3 e além disso:

x , y = 1 2 2 , 1 3 2  

Se substituirmos na relação encontrada fica assim:

4 x d x d t = - 9 y d y d t

4 1 2 2 3 =   - 9   1 3 2   d y d t  

6 = - 3 d y d t

d y d t =   - 2

Passo 3

(b)

Como d y d t = 8 e além disso:

x , y = 1 3 , - 5 9

Se a gente substituir de novo na relação que a gente encontrou fica assim:

4 x d x d t = - 9 y d y d t

4   1 3 d x d t = - 9   - 5 9 ( 8 )  

4 3 d x d t = 8   5

d x d t = 6 5

Resposta

(a)     d y d t =   - 2

(b) d x d t = 6 5

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