Enunciado

Uma prancha de 10   m está apoiada em uma parede. Se em um certo instante sua base está a 2   m da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 0,5   m / s , com que rapidez estará crescendo o ângulo agudo que a prancha faz com o solo?

Passo 1

Vamos analisar com calma o que está acontecendo:

A base da prancha irá se aproximar da parede, de forma que o seu topo deslize para cima e além disso o ângulo agudo que a prancha faz com o solo (que chamamos de θ ) aumente, concorda?

Pra relacionar esses caras temos que usar algo que envolva ângulo de triângulos retângulos e alguns de seus lados. No nosso caso o lado adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Opa então vamos falar que:

cos ⁡ θ = â n g u l o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = x 10  

Passo 2

Pra relacionarmos as taxas com que x e θ variam quando a prancha se move, podemos derivar essa expressão em relação ao tempo, fica assim ó:

d d t ( cos ⁡ θ ) = d d t x 10  

Usando a regra da cadeira vamos chegar que:

cos ⁡ θ ' d θ d t =   1 10 d x d t

Porém a derivada de cosseno é menos o seno, lembra? Então chegamos na seguinte relação:

- ( sin ⁡ θ )     d θ d t =   1 10 d x d t

Passo 3

Para gente descobrir a rapidez que estará crescendo o ângulo agudo ( θ ) que a prancha faz com o solo, basta descobrirmos o d θ / d t   naquele instante, concorda? Mas o que significam aqueles outros dados que o enunciado nos dá?

A base sendo empurrada em direção a parede a uma taxa de 0,5   m / s nos diz que:

d x d t = -   0 , 5   m / s  

Lembrando de atentar pro sinal negativo, pois se a base está se aproximando, x está diminuindo.

Só que pra usarmos a expressão que encontramos ali em cima ainda precisaríamos descobrir o sin ⁡ θ nesse instante. Pra isso podemos usar que:

cos ⁡ θ     =     x 10     =     2 10     =     1 5  

E ainda pela Relação Fundamental Trigonométrica:

( sin ⁡ θ ) 2 + cos ⁡ θ 2 = 1

( sin ⁡ θ ) 2 + 1 5 2 = 1

( sin ⁡ θ ) 2 = 24 25             ⇒         sin ⁡ θ = 24 25 = 2 6 5  

Passo 4

Showww, aí so precisamos substituir todos esses dados na expressão que encontramos ali em cima, ficamos com:

- ( sin ⁡ θ )     d θ d t =   1 10 d x d t

- 2 6 5     d θ d t =   1 10 - 0,5

d θ d t =     1 20   5 2   6       = 1 8   6  

d θ d t = 6 48   r a d / s

Então como tínhamos combinado, a rapidez que estará crescendo o ângulo agudo ( θ ) que a prancha faz com o solo é justamente o d θ / d t . Então encontramos nossa resposta 😊

PS: Perceba que encontramos um d θ d t > 0 , o que faz bastante sentido, porque θ   está aumentando.

Resposta

6 48   r a d / s

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