Enunciado

Uma mineradora estima que o custo marginal de extração de x toneladas de cobre de uma mina é 0,6 +   0,008 x , medido em milhares de dólares por tonelada. Os custos iniciais são $ 100.000 . Qual é o custo de extração das 50 primeiras toneladas de cobre? E para as próximas 50 toneladas?

Passo 1

Para a resolução desse problema, devemos usar o Teorema da Variação total, dado pela seguinte fórmula:

C b - C a = ∫ a b C ' ( x ) d x

Aparentemente, parece não fazer sentido nenhum, mas vamos ver. Nossos intervalos de integração são 0 a 50 . A nossa função já foi dada no sistema, agora é só substituir.

Substituindo temos,

C 50 - C 0 = ∫ 0 50 0,6 +   0,008 x d x

Porém, o nosso custo inicial é dado pelo problema, onde C 0 = 100 (ATENÇÃO porque a função do custo é medido em milhares de dólares por tonelada, certo? Então a gente coloca só o 100 e não o 100 mil.

C 50 - 100 = ∫ 0 50 0,6 +   0,008 x d x

Organizando e resolvendo a integral, temos

C 50 = 100 + 0,6 x + 0,008 x 2 2 0 50

C 50 = 100 + [ 0,6 × 50 + 0,008 50 2 2 - ( 0,6 × 0 + 0,008 0 2 2 ) ]

C 50 = 100 + [ 40 ]

C 50 = 140

Logo, o custo de extração das 50 primeiras toneladas de cobre é

$ 140.000,00

Utilizando o mesmo cálculo para as próximas 50 toneladas, temos

C 100 - C 50 = ∫ 50 100 0,6 +   0,008 x d x

C 100 - C ( 50 ) = 0,6 x + 0,008 x 2 2 50 100

C 100 - C ( 50 ) = [ 0,6 × 100 + 0,008 ( 100 ) 2 2 - 0,6 ( 50 ) + 0,008 ( 50 ) 2 2 ]

C 100 - C ( 50 ) = 60,00

Então o custo para as próximas 50 toneladas é:

$ 60.000,00

Resposta

$ 140.000,00

$ 60.000,00

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