Seja F x = ∫ 0 x sin ⁡ t t 2 + 1 d t . Encontre:

(a) F(0)

(b) F'(0)

(c) F''(0)

Passo 1

(a) Para achar F ( 0 ) , é só substituir x por 0 e calcular a integral:

F 0 = ∫ 0 0 sin ⁡ t t 2 + 1 d t

Mas uma integral de 0 até 0 é nula, né? Porque a área de 0 até 0 não existe. Logo:

F 0 = 0

Passo 2

(b) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Então:

F ' x = d d x ∫ 0 x sin ⁡ t t 2 + 1 d t = sin ⁡ x x 2 + 1 x ' = sin ⁡ x x 2 + 1 ( 1 )

d d x ∫ 0 x sin ⁡ t t 2 + 1 d t = sin ⁡ x x 2 + 1

Substituindo x por 0 :

F ' 0 = sin ⁡ 0 0 2 + 1 = 0 1 = 0

Passo 3

(c) Como já temos F ' ( x ) , só precisamos derivar ele mais uma vez:

F ' x = sin ⁡ x x 2 + 1

Pela regra do quociente:

F ' ' x = cos ⁡ x x 2 + 1 - 2 x sin ⁡ x x 2 + 1 2  

Substituindo x por 0 :

F ' ' 0 = cos ⁡ 0 0 2 + 1 - 2 ( 0 ) sin ⁡ 0 0 2 + 1 2

F ' ' 0 = 1 1 = 1

Resposta

(a) 0

(b) 0

(c) 1

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