Enunciado

Use as cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. Uma esfera de raio r .

Passo 1

Fala ai, galerinha! 😁

Nesse problema temos que usar o método das cascas cilíndricas para obter o volume da esfera de raio r .

Tem ideia de como fazemos isso? 😐

O método das cascas cilíndricas é um método para calcular o volume de um sólido de revolução, ou seja, um sólido obtido pela rotação de uma região plana em torno de um eixo.

Esse método consiste em dividir o sólido em cascas cilíndricas, que são cilindros com espessura muito pequena, e somar os volumes dessas cascas. O volume de uma casca cilíndrica pode ser calculado pela fórmula:

V = 2 π r h Δ r

Onde V é o volume da casca cilíndrica, r é o raio médio da casca cilíndrica, h é sua altura e Δ r é sua espessura.

Para aplicar o método das cascas cilíndricas, é preciso identificar o raio e a altura da casca cilíndrica em função de uma variável, geralmente x ou y , e integrar a expressão do volume de a até b , que são os limites da região plana. A fórmula geral do volume de um sólido de revolução pelo método das cascas cilíndricas é:

V = ∫ a b ​ 2 π r h Δ r

Parece de boa? 👀

Passo 2

Temos o seguinte esboço para esse caso...

Com isso, conseguimos achar nossa fórmula. A nossa função varia de R - r até R + r , então:

V = ∫ R - r R + r 2 π x 2 r 2 - x - R 2   d x = ∫ - r r 4 π u + R r 2 - u 2   d u

Para facilitar os cálculos, diremos que u = x - R :

V = 4 π R ∫ - r r r 2 - u 2 d u + 4 π ∫ - r r u r 2 - u 2   d u

A primeira integral é a área de um semicírculo de raio r , que é 1 2 π r ² , e a segunda é 0 , porque integrando teremos uma função ímpar. Assim, temos:

V = 4 π R 1 2 π r 2 + 4 π 0

V = 2 π 2 R r 2 .

E aí! O que achou? Responde Aí! 😬

Resposta

V = 2 π 2 R r 2 .

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Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em
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