Enunciado

Em um modelo de crescimento sazonal, uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento. Essas variações podem, por exemplo, ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos.

(a) Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal

d P d t = k P cos ⁡ r t - ϕ                         P 0 = P 0

onde k ,   r   e ϕ são constantes positivas.

(b) Traçando a solução para vários valores de k ,   r e ϕ , explique como os valores de k ,   r e ϕ afetam a solução. O que você pode dizer sobre lim t → ∞ ⁡ P t ?

Passo 1

(a) Beleza, pessoal? Vamos resolver a equação diferencial do modelo de crescimento sazonal:

d P d t = k P cos ⁡ r t - ϕ

1 P   d P = k cos ⁡ r t - ϕ d t

Ela é separável, né? Então agora é só integrar cada lado:

∫ 1 P   d P = ∫ k cos ⁡ r t - ϕ d t + C

Passo 2

Pra resolver a integral da direita, use a substituição u = r t - ϕ   ,       d u = r   d t , beleza?

ln ⁡ P = k 1 r s e n r t - ϕ + C

P ( t ) = C e k r   s e n r t - ϕ

Agora vamos descobrir a constante C usando P 0 = P 0 , ok?

P 0 = P 0 = C e k r   s e n r . 0 - ϕ

C = P 0 e - k r s e n ϕ

Temos então:

P t = P 0 e - k r s e n ϕ   e k r   s e n r t - ϕ = P 0   e k r s e n r t - ϕ + s e n ϕ

Passo 3

(b) Agora vamos traçar a solução para vários valores de k ,   r e ϕ ,   beleza?

Aqui vemos que se k aumenta, então a amplitude do gráfico aumenta

Mas se r aumenta, tanto a amplitude como o período do gráfico diminuem

Uma mudança em ϕ produz ligeiros deslocamentos na fase e na amplitude do gráfico

Passo 4

Show! Vamos tentar calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ P t = lim t → ∞ ⁡ P 0   e k r s e n r t - ϕ + s e n ϕ → P 0   e k r s e n ∞ + s e n ϕ

Mas lá no Cálculo a gente viu que o limite de s e n ∞ não existe, né?

Então esse limite não existe! E até faz sentido porque quando fizemos os gráficos, vimos que a função sempre está oscilando.

Resposta

(a) P t = P 0   e k r s e n r t - ϕ + s e n ϕ

(b) lim t → ∞ ⁡ P t   não existe

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