Enunciado

Outro modelo para a função crescimento para uma população limitada é dado pela função de Gompertz, que é uma solução da equação diferencial

d P d t = c ln ⁡ K P P

onde c é uma constante e K é a capacidade de suporte.

(a) Resolva essa equação diferencial.

(b) Calcule lim t → ∞ ⁡ P t .

(c) Trace a função de crescimento de Gompertz para K = 1000 ,   P 0 = 100 e c = 0,05 , e compare-a com a função logística no Exemplo 2 . Quais são as similaridades? Quais são as diferenças?

(d) Sabemos do Exercício 9 que a função logística cresce mais rapidamente quando P = K 2 . Use a equação diferencial de Gompertz para mostrar que a função de Gompertz cresce mais rápido quando P = K e .

Passo 1

(a) Então, pessoal. Vamos ter que resolver essa equação diferencial aí né.

d P d t = c ln ⁡ K P P

Veja que ela é separável:

1 ln ⁡ K P P   d P = c   d t

Então vamos integrar cada lado:

∫ 1 ln ⁡ K P P   d P = ∫ c   d t + A

Agora, como resolver a integral da esquerda? Podemos tentar uma substituição:

u = ln ⁡ K P   ,       d u = 1 K P   - K P 2 d P = - 1 P   d P

∫ - 1 u   d u = c t + A

- ln ⁡ u = c t + A

u = B e - c t

Agora a gente substitui de volta, e presta bastante atenção em cada passagem, porque as expressões são meio bizarras, ok?

Lembre-se que, se   B ,   C   e D são constantes, então podemos escrever:

e B   a l g o = ( e B ) a l g o = C a l g o ,           C - a l g o = 1 C a l g o = D a l g o

ln ⁡ K P = B e - c t

K P = e B e - c t

P t = K e B e - c t = K C e - c t = K C - e - c t = K D e - c t

Seja P 0 = P 0 :

P 0 = P 0 = K D e - c   .   0

P 0 = K D

D = P 0 K

Então, nossa solução é:

P t = K P 0 K e - c t

Passo 2

(b) Agora vamos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ P t = l i m t → ∞ K D e - c t = K D 0 = K

Então, depois de algum tempo, a solução sempre tende à sua capacidade de suporte, beleza?

Passo 3

(c) Com as constantes fornecidas pelo enunciado, queremos traçar a seguinte função de Gompertz:

P t = 1000   100 1000 e - 0,05   t = 1000   0,1 e - 0,05   t

Também, para comparar, vamos traçar a função logística do Exemplo 2 :

P t = 1000 1 + 9 e - 0,08   t

Em verde, a função de Gompertz; em vermelho, a função logística do Exemplo 2

Algumas semelhanças entre essa curvas são que elas começam do mesmo ponto (pois P 0 = 100 para ambas) e tendem à mesma solução de equilíbrio P = 1000 .

Uma diferença entre elas é que elas tem diferentes pontos de inflexão, ou seja, a concavidade delas não muda nos mesmos pontos.

Passo 4

(d) Para descobrir onde a função de Gompertz cresce mais rápido, precisamos maximizar a sua derivada. Ou seja, precisamos maximizar a função f = d P d t .

Lembra de como maximizamos uma função? Primeiro temos que achar os pontos críticos, derivando a função e igualando a 0 , olha só:

f ' = 0

d P d t ' = 0

Mas, a partir da equação diferencial, sabemos quem é d P d t   :

c ln ⁡ K P P ' = 0

Lembre-se de usar a regra do produto e da cadeira quando for derivar, heim?

c ln ⁡ K P ' P + c ln ⁡ K P P ' = 0

c 1 K P   - K P 2 d P d t   P + c   l n K P d P d t = 0

Vamos considerar d P d t ≠ 0 , pois isso nos daria uma taxa de crescimento nula, sendo que queremos maximizá-la. Então podemos “cortar” da nossa equação:

c P K - K P P 2 + c ln ⁡ K P = 0

ln ⁡ K P = 1

K P = e

P = K e

Então achamos esse ponto crítico, mas ainda não podemos dizer que ele nos dá o máximo da função, pois ainda teríamos que analisar os extremos do domínio: P → 0 e P → ∞   ( P = 0 não é ponto do domínio pois anularia o denominador da fração K P , presente na função d P d t que queremos maximizar) .

Se descobríssemos, por exemplo, que P → 0   ou P → ∞ nos dá uma taxa de crescimento maior do que a do ponto crítico P = K e , nem poderíamos dizer que existe um máximo global, pois nem P → 0 nem P → ∞ são realmente pontos, o que significa que o intervalo é aberto. E lembre-se que não tem nenhum teorema que garante a existência de máximos ou mínimos globais num intervalo aberto.

Mas, pra nossa sorte, nem P → 0 nem P → ∞ nos retorna valores maiores do que P = K e   nos retorna para d P d t   . Se usarmos algumas regrinhas de limite vamos ver que:

lim P → 0 ⁡ d P d t = l i m P → 0 c ln ⁡ K P P = 0

lim P → ∞ ⁡ d P d t = - ∞

P = K e ⇒ d P d t = c ( ln ⁡ e ) K e = K c e

Então, d P d t é maior para P = K e , está provado.

Resposta

(a) P t = K P 0 K e - c t

(b) lim t → ∞ ⁡ P t =   K

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

a) Se $500 são emprestados a 14 % de juros, calcule as quantidades devidas no final de dois anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) trimestralmente, (iii) mensalmente, (iv) diariamente,
Uma cultura de bactérias começa com 500 bactérias e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de três horaz existem 8000 bactérias.a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depoi
a) Se $3000 são investidos a uma taxa de juros de 5 % , calcule o valor do investimento no final de cinco anos se os juros forem compostos (i) anualmente, (ii) semestralmente, (iii) mensalmente, (iv)
Resolva as equações diferenciais y ' + x e y = 0
Resolva as equações diferenciais e y - 1 y ' = 2 + cos ⁡ x