Enunciado

Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegado lá as 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Passo 1

Bom, galera, nesse exercício queremos mostrar que existe um ponto aonde a ida e a volta do monge ocorrem no mesmo tempo. Para isso, utilizaremos o Teorema do Valor Intermediário.

O Teorema diz o seguinte:

Passo 2

Seja f ( t ) uma função do tempo que represente a distância do monge em relação ao monastério no primeiro dia.

Seja D a distância do monastério até o topo da montanha e seja g ( t ) uma função do tempo que represente a distância do monge em relação ao monastério no segundo dia.

Sabemos que

f 0 = 0

E

f 12 = D

g 0 = D

E

g 12 = 0

Agora seja a função h t = f t - g ( t ) , que representa a diferença entre a distância do monge em relação ao monastério no primeiro dia e a distância do monge em relação ao monastério no segundo dia.

Passo 3

Podemos calcular

h 0 = - D

sendo o tempo inicial da contagem,

e

h 12 = D

sendo t = 12 o tempo passado entre os deslocamentos.

Então, pelo teorema do valor intermediário, há um valor c tal que h c = 0 . E, se h c = 0 , como h t = f t - g ( t ) :

h c = 0 = f c - g c

f c = g ( c )

Ou seja, posições iguais, no mesmo tempo!

Dessa forma, no horário t = c , o monge passa pelo mesmo ponto na ida e na volta.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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