Enunciado

São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,   b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso contrário, explique porquê. Faça um esboço da curva e da reta y = k .

f x = 5 2 x - 1 ;           a ,   b = 0 ,   1 ;           k = 2

Passo 1

Essa é uma questão para treinarmos a aplicação do teorema do valor intermediário (TVI). Para que o teorema seja aplicável a função f deve ser contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] . Se essa hipótese for satisfeita, então para todo k entre f ( a ) e f ( b ) existirá um c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k .

Devemos então verificar se f é contínua e se k está entre f ( a ) e f ( b ) . Caso essas duas condições sejam satisfeitas, devemos procurar c tal que f c = k .

Note que f não é definida pata 2 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 / 2 , que está no interior do intervalo [ 0 ,   1 ] . Assim, f não é contínua no intervalo e o TVI não é válido!

Passo 2

Se tentarmos achar c ∈ [ a ,   b ] tal que f c = k = 2 , não vamos obter sucesso:

5 2 c - 1 = 2 ⇒ 4 c - 2 = 5 ⇒ 4 c = 7 ⇒ c = 7 4 ∉ [ 0,1 ]

Passo 3

O gráfico de f nesse intervalo e da reta y = 2 :

Resposta

O TVI não é aplicável.

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