Mostre que ∫ 0 1 x   d x ≥ ∫ 0 1 x 2 d x , mas ∫ 1 2 x   d x ≤ ∫ 1 2 x 2 d x .

Passo 1

Já vimos que se temos em um intervalo [ a , b ] duas funções f ( x ) e g ( x ) integráveis e se f x ≥ g ( x ) no intervalo, isso implicará que ∫ a b f x d x ≥ ∫ a b g x d x . Basta então comparar as funções x e x 2 nos intervalos dados para tentar provar o que se pede.

Passo 2

Os gráficos da reta f x = x e da parábola g x = x 2 são facilmente esboçados no intervalo [ 0,2 ] , como mostra a imagem:

Como vemos, temos para o intervalo [ 0,1 ] a desigualdade x ≥ x 2 e para [ 1,2 ] a desigualdade x ≤ x 2 . Com isso, fica provado que ∫ 0 1 x   d x ≥ ∫ 0 1 x 2 d x e ∫ 1 2 x   d x ≤ ∫ 1 2 x 2 d x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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