Enunciado

Mostre que int_0^1 x d x >= int_0^1 x^2 d x , mas int_1^2 x d x <= int_1^2 x^2 d x .

Passo 1

Já vimos que se temos em um intervalo [ a , b ] duas funções f ( x ) e g ( x ) integráveis e se f (x) >= g ( x ) no intervalo, isso implicará que int_a^b f (x) d x >= int_a^b g (x) d x . Basta então comparar as funções x e x^2 nos intervalos dados para tentar provar o que se pede.

Passo 2

Os gráficos da reta f (x) = x e da parábola g (x) = x^2 são facilmente esboçados no intervalo [ 0,2 ] , como mostra a imagem:

Como vemos, temos para o intervalo [ 0,1 ] a desigualdade x >= x^2 e para [ 1,2 ] a desigualdade x <= x^2 . Com isso, fica provado que int_0^1 x d x >= int_0^1 x^2 d x e int_1^2 x d x <= int_1^2 x^2 d x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f : 0,1 → R dada por f ( x ) = xs ex∈Q0s ex∉Q Verifique que se os c i forem racionais ∑ i = 1 n f c i △ x i tende a 1 2 , quando m a x△ x→ 0 .Prove que f não é integrável em 0,1 .
38. Prove que a função maior inteiro é descontínua em [ 0 , 3 2 ] e mesmo assim é integrável nesse intervalo. Mostre também que ∫ 0 3 / 2 x d x = 1 2
37. Prove que a função sinal é descontínua em [ - 1,1 ] e mesmo assim é integrável nesse intervalo. Mostre também que ∫ - 1 1 s g n xd x = 0
Expresse como uma integral definida: lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n n i + n 2 Sugestão: considere a fução f para a qual f x = 1 x 2 em [ 1,2 ] .
Expresse como uma integral definida: lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 Sugestão: considere a fução f para a qual f x = x 2 .