Enunciado

Um sólido é formado pela rotação em torno do eixo y , da região limitada, da região limitada pela curva y = x 3 , pelo eixo x e pela reta x = c , onde c > 0 . Para que valores de c o volume do sólido é de 12 π unidades cúbicas?

Passo 1

Com questões desse tipo, tentamos sempre fazer o gráfico da função para termos uma direção!

A ideia é que já temos a função apenas falta os limites de integração e ficará muito fácil desenhando o gráfico!

Como é rotação em torno de y , utilizaremos essa fórmula:

V = 2 π ∫ x y d x

Passo 2

Vamos usar o passo 2 para esboçar um gráfico e tentarmos extrair coisas legais desse gráfico:

Obs: Imagem meramente ilustrativa, ela não tem fidelidade, é infiel, com a questão do gráfico!

Então desse gráfico maroto tiramos que o intervalo de integração é de 0 até c .

Passo 3

Vamos fazer a integral agora! Já fizemos toda a análise possível!

O volume segundo a nossa questão é de 12 π unidades cúbicas (apenas uma formalidade para os físicos não ficarem chateados kkkk)

Com os limites de integração de 0 a c , faremos a integral e igualaremos ao valor que eu disse anteriormente 12 π .

V = 2 π ∫ 0 c x x 1 3 d x = 2 π ∫ 0 c x 4 3 d x = 2 π 3 7 x 7 3 c 0 = 6 π 7 c 3 7

V = 1 2 π

Resolvendo a equação

1 2 π = 6 π 7 c 3 7

c 3 7 = 14

c = 14 7 3

Resposta

c = 14 7 3

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Ache o comprimento da catenária y = cosh ⁡ x de ln ⁡ 2 , 5 4 até ln ⁡ 3 , 5 3 .
Ache o centróide da região limitada pela parábola y 2 = x e pela reta y = x - 2 .
Ache o centróide da região limitada acima pela parábola 4 x 2 = 36 - 9 y e abaixo pelo eixo x .
Ache o centróide da região limitada pela parábola y = x e pela reta y = x 2 .
Ache o centroide da região no primeiro quadrante, limitadas pelos eixos coordenados e pela parábola y = 9 - x ² ²