Enunciado

Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x -> 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x) = underset(x -> 0^())(l i m) c o s s e c x - underset(x -> 0^())(l i m) c o t g x = oo - oo

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abrir essas contas para deixar (0)/(0) ou (oo)/(oo)

underset(x -> 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x) = underset(x -> 0^())(lim) ( (1)/(s e n x) - (c o s x)/(s e n x) ) = underset(x -> 0^())(lim) (1 - c o s x)/(s e n x) = (0)/(0)

Passo 3

Agora, podemos usar Lh’hospital, ou seja, vamos derivar o numerador e o denominador da limite,

underset(x -> 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x) = underset(x -> 0^())(lim) (1 - c o s x)/(s e n x) = underset(x -> 0^())(l i m) (s e n x)/(c o s x) = (0)/(1) = 0

Resposta

underset(x -> 0^())(lim) (c o s s e c x - c o t g x) = 0

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