Use Lh’hospital para determinar o limite lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x  

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’hospital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x =   sec ⁡ 7 ⋅ π 2 cos ⁡ 3 ⋅ π 2 = ∞ ⋅ 0  

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido não está forma que desejamos, então antes de aplicar Lh’hospital devemos dá uma modificada. Ou seja, vamos abir essas contas para deixar 0 0 ou ∞ ∞

lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x     =   lim x → π 2 -   ⁡ 1 c o s ⁡ ( 7 x ) ⋅ cos ⁡ 3 x     =   lim x → π 2 -   ⁡ cos ⁡ 3 x c o s ⁡ ( 7 x )   = cos ⁡ 3 ⋅ π 2 cos ⁡ 7 ⋅ π 2   =   0 0  

Passo 3

Agora, podemos usar Lh’hospital, ou seja, vamos derivar o numerador e o denominador da limite,

lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x       =   lim x → π 2 -   ⁡ cos ⁡ 3 x c o s ⁡ ( 7 x )   =   lim x → π 2 -   ⁡ - 3 sen ⁡ 3 x - 7 sen ⁡ 7 x     =   - 3 s e n 3 π 2 - 7   s e n   7 π 2 =   - 3 ( - 1 ) - 7 ( - 1 )     = 3 7  

Resposta

lim x → π 2 -   ⁡ sec ⁡ 7 x cos ⁡ 3 x     =   3 7  

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