Enunciado

Se z = (1)/(y) [f (a x + y) + g (a x - y)] , mostre que:

(del^2 z)/(del x^2) = (a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y))

Passo 1

Então galera, a resolução dessa questão é puramente matemática mesmo. Vamos utilizar os conceitos que conhecemos sobre regra da cadeia, tudo bem? Antes de tudo, a fim de facilitar nosso problema, vamos definir o seguinte:

u = a x + y

v = a x - y

Então teremos que:

z = (1)/(y) [f (u) + g (v)]

Vamos descobrir as derivadas parciais de z em relação a u e v :

(del z)/(del u) = (1)/(y) . f^' (u)

(del z)/(del v) = (1)/(y) . g^' (v)

Passo 2

Agora o que devemos fazer é aplicar a regra da cadeia para descobrirmos as derivadas em relação a x e a y , se liga:

(del z)/(del x) = (del z)/(del u) (del u)/(del x) + (del z)/(del v) (del v)/(del x)

Substituindo os valores das derivadas:

(del z)/(del x) = (a)/(y) . f^' (u) + (a)/(y) . g^' (v)

(del z)/(del x) = (a)/(y) [f^' (u) + g^' (v)]

Agora descobrindo em relação a y :

(del z)/(del y) = (del z)/(del u) (del u)/(del y) + (del z)/(del v) (del v)/(del y)

Substituindo os valores das derivadas:

(del z)/(del y) = (1)/(y) . f^' (u) - (1)/(y) . g^' (v)

(del z)/(del y) = (1)/(y) [f^' (u) - g^' (v)]

Passo 3

Ok, agora determinamos as derivadas que precisamos. O que devemos fazer agora é testar a igualdade do enunciado, que é:

(del^2 z)/(del x^2) = (a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y))

Para o lado esquerdo da equação, teremos:

(del^2 z)/(del x^2) = (del)/(del x) ((a)/(y) [f^' (u) + g^' (v)]) = (a)/(y) [(d g^' (v))/(d v) . (del v)/(del x) + (d f^' (u))/(d u) . (del u)/(del x)]

(del^2 z)/(del x^2) = (a)/(y) (a . g^(' ') (v) + a . f^(' ') (u)) = (a^2)/(y) (g^(' ') (u) + g^(' ') (v))

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra da cadeia novamente, tudo bem? Agora para o lado direito, teremos:

(a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y)) = (a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (1)/(y) [f^' (u) - g^' (v)])

(a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y)) = (a^2)/(y) [- (d g^' (v))/(d v) . (del v)/(del y) + (d f^' (u))/(d u) . (del u)/(del y))

(a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y)) = (a^2)/(y) (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Sendo assim, o resultado que chegamos é que:

(a^2)/(y) (g^(' ') (v) + f^(' ') (u)) = (a^2)/(y) (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Então fica provado que, de fato:

(del^2 z)/(del x^2) = (a^2)/(y^2) . (del)/(del y) (y^2 . (del z)/(del y))

Como queríamos demonstrar 😊.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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