Enunciado

Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular x 2 + y 2 = a 2 . No entanto, a integral pode ser calculada como o limite da integral sobre o disco x 2 + y 2 ≤ t 2 quando t → a - . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio a é 4 π a 2 .

Passo 1

Vamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de z . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - a 2 . Sendo assim

∂ z ∂ x = ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z = x z

∂ z ∂ y = ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z = y z

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + x z 2 + y z 2 d A = ∬ D 1 + x 2 + y 2 z 2 d A

A S = ∬ D 1 + x 2 + y 2 a 2 - x 2 + y 2 d A

A S = ∬ D a 2 a 2 - x 2 + y 2 d A

A S = ∬ D a a 2 - x 2 - y 2 d A

Observe que as derivadas parciais são descontínuas quando x 2 + y 2 = a 2 . Por causa desta descontinuidade, a área da superfície não pode ser calculada pela integral acima. Contudo, ao fazermos esta manipulação detalhada na questão, estamos “burlando” a descontinuidade, e tudo funcionará perfeitamente!

Passo 3

Agora, vamos escrever em coordenadas polares a nossa integral. Os limites serão:

0 ≤ r ≤ t

0 ≤ θ ≤ 2 π

Observe que t → a - . Depois de resolvermos a integral, vamos calcular o limite para este valor!

Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 t a ⋅ r a 2 - r 2 d r d θ

A S = ∫ 0 2 π - a a 2 - r 2 0 t d θ

A S = ∫ 0 2 π - a a 2 - t 2 + a 2 d θ

A S = 2 π a 2 - a a 2 - t 2

Agora, vamos calcular o limite para quando t → a - .

lim t → a - ⁡ A S = lim t → a - ⁡ 2 π a 2 - a a 2 - t 2 = 2 π a 2 - a ⋅ 0

2 π a 2

Calma lá! Estamos quase finalizando! Percebam que a diferença do nosso resultado para a área de uma esfera é apenas uma multiplicação por 2. Isto decorre pois, a integral que resolvemos, calcula apenas a área da parte de cima da nossa esfera! Portanto, basta multiplicarmos por 2. Logo,

A S e s f e r a = 2 ⋅ 2 π a 2 = 4 π a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 e do elipsoide 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 - x - yd yd x
Determine o volume aproximado do sólido no primeiro octante que é limitado pelos planos y = x , z = 0 e z = x e pelo cilindo y = cos ⁡ x . (Utilize uma ferramenta gráfica para estimar os pontos de int