Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 22
Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera , você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular . No entanto, a integral pode ser calculada como o limite da integral sobre o disco quando . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio é .
Passo 1
Vamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.
Passo 2
Para escrevermos a integral da área de superfície, vamos determinar primeiramente as derivadas parciais de . Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função . Sendo assim
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Observe que as derivadas parciais são descontínuas quando . Por causa desta descontinuidade, a área da superfície não pode ser calculada pela integral acima. Contudo, ao fazermos esta manipulação detalhada na questão, estamos “burlando” a descontinuidade, e tudo funcionará perfeitamente!
Passo 3
Agora, vamos escrever em coordenadas polares a nossa integral. Os limites serão:
Observe que . Depois de resolvermos a integral, vamos calcular o limite para este valor!
Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares, basta resolvermos:
Agora, vamos calcular o limite para quando .
Calma lá! Estamos quase finalizando! Percebam que a diferença do nosso resultado para a área de uma esfera é apenas uma multiplicação por 2. Isto decorre pois, a integral que resolvemos, calcula apenas a área da parte de cima da nossa esfera! Portanto, basta multiplicarmos por 2. Logo,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)