Enunciado

Mostre que y = 3 - x 2 é uma assíntota curvilínea do gráfico de f x = 2 + 3 x - x 3 x . Esboce o gráfico de y = f x , mostrando esse comportamento assintótico.

Passo 1

Vamos analisar a função, como o numerador tem grau maior do que o denominador podemos reescrever realizando a divisão:

Temos assim:

2 + 3 x - x 3 = - x 2 + 3 x + 2 → 2 + 3 x - x 3 x = - x 2 + 3 x x + 2 x →

→ 2 + 3 x - x 3 x = - x 2 + 3 + 2 x

Assim f x = - x 2 + 3 + 2 x .

Passo 2

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico, temos que a parcela 2 x tende a 0 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , assim:

f x + x 2 - 3 → 0

Quando x → + ∞ ou x → - ∞ .

Geometricamente isso significa que o gráfico de f x vai ficando cada vez mais próximo da reta y = - x 2 + 3 quando x → + ∞ ou x → - ∞ , e essa reta é denominada assíntota oblíqua ou inclinada de f .

Passo 3

E aqui temos o gráfico da função, com a reta y = - x 2 + 3 pontilhada de azul:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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