Enunciado

A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor com capacitância de C Farads (F) e um resistor com resistência de R ohms (Ω). A queda de voltagem no capacitor é Q / C onde Q é a carga (em coulombs); nesse caso a Lei de Kirchhoff fornece

R I + Q C = E t

Mas I = d Q d t , de modo que temos

R d Q d t + 1 C Q = E ( t )

Suponha que a resistência seja 5 Ω , a capacitância seja 0,05   F e a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V.

  1. Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial.
  2. Qual é o valor-limite da carga?
  3. Existe uma solução de equilíbrio?
  4. Se a carga inicial for Q 0 = 0 C ,   use o campo de direções para esboçar a curva solução.
  5. Se a carga inicial for Q 0 = 0 C , use o método de Euler com o passo 0,1 para estimar a carga depois de meio segundo.

Passo 1

  1. Queremos desenhar um campo de direções para a equação diferencial R d Q d t + 1 C Q = E ( t ) . Vamos substituir os dados que temos: R = 5 Ω , C = 0,05   F E t = 60 V.
  2. 5 Q ' + 1 0,05 Q = 60

    Q ' + 4 Q = 12

    Q ' = 12 - 4 Q

    Isso quer dizer que em cada ponto que pegarmos, teremos uma reta com inclinação igual a Q ' = 12 - 4 Q , assim, podemos pegar vários pontos e desenhar pequenos segmentos de reta. Desse jeito:

    Passo 2

  3. Precisamos encontrar o valor-limite da carga. Quando a carga no capacitor se aproxima do valor limite de carga, a carga não mudará mais. Então temos que
  4. d Q d t = 0

    Substituindo na fórmula, ficamos com:

    R . 0 + Q C = E ( t ) . 0 + Q C = E ( t )

    Q = C . E t = 0,05   60 = 3   Coulombs

    Passo 3

  5. Temos uma solução de equilíbrio quando d Q d t = 0
  6. Então: R . 0 + Q C = E ( t ) . 0 + Q C = E ( t )

    Q = C . E t = 0,05   60 = 3   Coulombs

    Q = 3 é a solução de equilíbrio

    Passo 4

  7. Para desenhar a solução de equilíbrio quando a carga inicial for Q 0 = 0 C , basta pegarmos o campo desenhado no item a e desenhar uma linha seguindo as direções a partir do ponto inicial, assim:
  8. Passo 5

  9. Queremos estimar a carga depois de meio segundo, através do método de Euler, quando a carga inicial for Q 0 = 0 C .

Sabemos que Q ' + 4 Q = 12  

Q ' = 12 - 4 Q

Também sabemos que Q 0 = 0 ,   então t 0 = 0   e   Q 0 = 0

Então vamos aplicar a fórmula do método de Euler até chegarmos em Q 0,5 :

Q 1 = Q 0 + h F t 0 . Q 0 = 0 + 0,1 12 - 4.0 = 1,2

Q 2 = Q 1 + h F t 1 . Q 1 = 1,2 + 0,1 12 - 4   .   1,2 = 1 , 9 2

Q 3 = Q 2 + h F t 2 . Q 2 = 1,92 + 0,1 12 - 4     .     1,92 = 2,352

Q 4 = Q 3 + h F t 3 . Q 3 = 2,352 + 0,1 12 - 4     .     2,352 = 2 , 6112

Q 5 = Q 4 + h F t 4 . Q 4 = 2,6112 + 0,1 12 - 4     .     2,6112 = 2 , 76672

Q 5 = Q 0,5 ≈ 2,77 C

Resposta

(b) 3 Coulombs

(c) Q = 3

(d) Q 5 = Q 0,5 ≈ 2,77 C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma gota de chuva esférica evapora a uma taxa proporcional à sua área de superfície. Escreva uma equação diferencial para o volume de uma gota de chuva em função do tempo.
A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a de seu meio ambiente (na maioria dos casos, a temperatura
Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 de galões (aproximadamente 4.550.000 litros) de água e uma quantidade desconhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01g
Determinado remédio está sendo injetado na veia de um paciente hospitalizado. O líquido, contendo 5m g / c m 3 do remédio, entra na corrente sanguínea do paciente a uma taxa de 100c m 3 / h . O remédi
Para objetos pequenos, caindo devagar, a hipótese feita no texto sobre a resistência do ar ser proporcional à velocidade é boa. Para objetos maiores, caindo mais rapidamente, uma hipótese mais precisa