Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 29
Mostre que, se um campo vetorial é conservativo e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
Passo 1
Fala pessoal, tudo certo? Olha só, a questão já nos dá o primeiro passo, que é dizer que o nosso campo vetorial é conservativo. Todo campo vetorial conservativo tem isso como válido:
Beleza, mas o que isso quer dizer? Isso quer dizer que seja:
Teremos:
E como, do enunciado
Igualando os termos, temos:
Passo 2
Bem, por enquanto só brincamos com a definição de ccampo conservativo. Veja galera, que como o enunciado quer que a gente prove:
Então bora analisar cada uma dessas igualdades. Pra primeira de todas, temos que derivar em relação a e em relação a . Como achamos, no passo :
As derivadas serão:
E olha só povo, como o enunciado diz que existem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então as derivadas parciais de segunda ordem são iguais independente do caminho (se derivou antes de ou se derivou antes do ). Portanto, como:
De fato temos:
Pra segunda equação, temos que derivar e , respectivamente, em relação a e . Tendo:
Derivamos:
E como:
De fato:
Pra fechar com chave de ouro, a gente vai derivar e , respectivamente, em relação a e . Tendo:
Derivamos:
E como:
De fato:
Prontinho, tudo provado!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais