Enunciado

Mostre que, se um campo vetorial F = P   i + Q   j + R   k é conservativo e P ,   Q ,   R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x                     ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x                     ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Passo 1

Fala pessoal, tudo certo? Olha só, a questão já nos dá o primeiro passo, que é dizer que o nosso campo vetorial é conservativo. Todo campo vetorial conservativo tem isso como válido:

F → x , y , z = ∇ f x , y , z

Beleza, mas o que isso quer dizer? Isso quer dizer que seja:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Teremos:

∇ f x , y , z = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

E como, do enunciado

F → x , y , z = P , Q , R

Igualando os termos, temos:

P , Q , R = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

P = ∂ f x , y , z ∂ x Q = ∂ f x , y , z ∂ y R = ∂ f x , y , z ∂ z

Passo 2

Bem, por enquanto só brincamos com a definição de ccampo conservativo. Veja galera, que como o enunciado quer que a gente prove:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x                     ∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x                     ∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Então bora analisar cada uma dessas igualdades. Pra primeira de todas, temos que derivar P em relação a y e Q em relação a x . Como achamos, no passo 1 :

P = ∂ f x , y , z ∂ x

Q = ∂ f x , y , z ∂ y

As derivadas serão:

∂ P ∂ y = ∂ 2 f x , y , z ∂ x ∂ y

∂ Q ∂ x = ∂ 2 f x , y , z ∂ y ∂ x

E olha só povo, como o enunciado diz que existem derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então as derivadas parciais de segunda ordem são iguais independente do caminho (se derivou x antes de y ou se derivou y antes do x ). Portanto, como:

∂ 2 f x , y , z ∂ x ∂ y = ∂ 2 f x , y , z ∂ y ∂ x

De fato temos:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Pra segunda equação, temos que derivar P e R , respectivamente, em relação a z e x . Tendo:

P = ∂ f x , y , z ∂ x

R = ∂ f x , y , z ∂ z

Derivamos:

∂ P ∂ z = ∂ 2 f x , y , z ∂ x ∂ z

∂ R ∂ x = ∂ 2 f x , y , z ∂ z ∂ x

E como:

∂ 2 f x , y , z ∂ x ∂ z = ∂ 2 f x , y , z ∂ z ∂ x

De fato:

∂ P ∂ z = ∂ R ∂ x

Pra fechar com chave de ouro, a gente vai derivar Q e R , respectivamente, em relação a z e y . Tendo:

Q = ∂ f x , y , z ∂ y

R = ∂ f x , y , z ∂ z

Derivamos:

∂ Q ∂ z = ∂ 2 f x , y , z ∂ y ∂ z

∂ R ∂ y = ∂ 2 f x , y , z ∂ z ∂ y

E como:

∂ 2 f x , y , z ∂ y ∂ z = ∂ 2 f x , y , z ∂ z ∂ y

De fato:

∂ Q ∂ z = ∂ R ∂ y

Prontinho, tudo provado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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