Enunciado

Mostre que a curva y = x 2 + 4 x tem duas assíntotas oblíquas: y = x + 2 e y = - x - 2 . Use esse fato para esboçar a curva.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui duas assíntotas oblíquas. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite

lim x → ∞ ⁡ f x - m x + b = 0

Onde m x + b é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de f ( x ) .

Passo 2

Derivando y em relação a x , temos

y ' = x + 2 x 2 + 4 x

Como y ' ≥ 0 para x > 0 e f ' x < 0 , para x < - 4 , então nossa função está crescendo em 0 ,   ∞ e decrescendo em - ∞ ,   - 4 .

Derivando f ' ( x ) em relação a x , temos

y ' ' x = x 2 + 4 x - x + 2 x + 2 x 2 + 4 x x 2 + 4 x 2 = - 4 x 2 + 4 x - 3 2

Como y ' ' x < 0 para todos os valores de x , então nossa função possui concavidade para baixo em - ∞ ,   - 4 e em 0 ,   ∞ . A função não possui pontos críticos, portanto não possui valores de máximo e mínimo e é simétrica em relação à origem. A função não possui pontos de inflexão.

Passo 3

Resolvendo o seguinte limite, temos

lim x → ± ∞ ⁡ f x ∓ x + 2 = 0  

Dessa forma, x + 2 e – x - 2 são assíntotas oblíquas de f x .

Resposta

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