Enunciado

Mostre que a curvatura máxima da curva y = ln ⁡ x é 2 3 3 , a qual ocorre no ponto 2 2 ,   - 1 2 ln ⁡ 2 .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., temos que a curvatura k de uma curva C é a medida da taxa de variação de sua direção e pode ser dada por:

k x = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Quando a curva é plana e possui a forma cartesiana y = f x .

Como queremos saber o valor máximo da curvatura, vamos aplicar a propriedade das derivadas para encontrar esse valor. Para tanto, vamos derivar a equação da curvatura e igualar o resultado dessa operação a zero.

Dessa forma, provavelmente teremos uma função polinomial e iremos verificar se o ponto dado pelo enunciado é um ponto crítico.

Por fim, precisamos determinar se o ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo valor dependendo da concavidade da curva na respectiva coordenada.

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada da função. Então, derivando-a, teremos:

y ' = 1 x

Derivando novamente:

y ' ' = - 1 x 2

Passo 3

A partir da equação da curvatura dada, temos que:

k x = - 1 x 2 1 + 1 x 2 3 2

Assim:

k x = 1 x 2 1 + 1 x 2 3 2 = 1 x 2 1 + 1 x 2 3

Por conveniência, vamos desenvolver o termo elevado ao cubo e reescrever o termo x 2 como x 4 :

k x = 1 x 4 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + 1 x 6

Pela potenciação, podemos aplicar a seguinte propriedade:

a ∙ b = a ∙ b

Assim, a curvatura terá a forma:

k x = 1 x 4 1 + 3 x 2 + 3 x 4 + 1 x 6

Então:

k x = 1 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2

Passo 4

Com a equação da curvatura determinada, agora precisamos derivar ela e igualar o resultado a zero. Podemos aplicar a regra do quociente dada por:

d d x f g = f ' g - f g ' g 2

Pra fazer essa derivada. Logo:

k ' x = 0 - - 1 2 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 4 x 3 + 6 x - 2 x 3 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 2

Isso resulta em:

k ' x = 2 x 3 + 3 x - 1 x 3 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 3

Passo 5

Partindo pra próxima etapa, temos que igualar esse resultado a zero, tal que:

k ' x = 0 = 2 x 3 + 3 x - 1 x 3 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo termo do denominador do lado direito, temos:

2 x 3 + 3 x - 1 x 3 x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 3 ∙ x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 3 = 0 ∙ x 4 + 3 x 2 + 3 + 1 x 2 3

Assim:

2 x 3 + 3 x - 1 x 3 = 0

Multiplicando toda a equação, novamente, por x 3 agora:

2 x 3 + 3 x - 1 x 3 ∙ x 3 = 0 ∙ x 3 → 2 x 6 + 3 x 4 - 1 = 0

Como se deseja saber se o ponto 2 2 ,   - 1 2 ln ⁡ 2 é o ponto máximo da curvatura, vamos substituir o valor de x do ponto nessa equação dada, tal que o resultado dessa substituição deve ser zero para que o ponto seja crítico.

Com isso, x = 2 2 :

2 2 2 6 + 3 2 2 4 - 1 = 0 → 2 1 8 + 3 1 4 - 1 = 0

Ou seja:

1 4 + 3 4 - 1 = 0 ∴ 4 4 - 1 = 0

Assim, provamos que o ponto dado é um ponto crítico.

Passo 6

Pela segunda derivada, temos que se o seu valor for maior que zero, a concavidade da função é para cima; caso seja menor que zero, a concavidade é para baixo. Visto que a nossa segunda derivada é dada por:

y ' ' = - 1 x 2

O seu valor é negativo e, logo, a concavidade é para baixo. Isso significa que o ponto crítico que encontramos é um ponto de máxima curvatura, como podemos ver no esboço a seguir:

Por fim, para confirmarmos o valor da curvatura, vamos substituir o valor de x do ponto na equação da curvatura:

k 2 2 = 1 2 2 4 + 3 2 2 2 + 3 + 1 2 2 2

Portanto:

k 2 2 = 1 27 4 = 1 3 ∙ 9 4

Tirando a raiz quadrada:

k 2 2 = 1 3 3 2

Assim, podemos mostrar que a curvatura máxima no ponto 2 2 ,   - 1 2 ln ⁡ 2 tem o valor:

k 2 2 = 2 3 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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