Enunciado

Seja σ t = 2 t - 2 s e n t ,   2 - 2 cos ⁡ t   ,   0 ≤ t ≤ 2 π (ver o exemplo 1.5 ). Mostre que a curvatura é mínima no ponto mais alto da curva, e máxima no ponto mais baixo. Encontre os pontos de velocidade máxima e mínima. Esboce a curva, e os vetores velocidade e aceleração nos pontos mais alto e mais baixo da curva.

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Além disso, para encontrarmos os valores máximo e mínimo, podemos aplicar a propriedade da derivada para encontrar os pontos críticos e, então, determinar qual valor esses pontos têm.

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada da função dada. Tendo a equação:

σ t = 2 t - 2 s e n t ,   2 - 2 cos ⁡ t

Então, derivando-a uma vez, teremos:

σ ' t = 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = V t

E, fazendo isso novamente:

σ ' ' t = 2 s e n t , 2 cos ⁡ t = A t

Ainda, a velocidade escalar terá o valor:

v t = σ ' t = 2 - 2 cos ⁡ t 2 + 2 s e n t 2

Logo:

v t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 s e n 2 t

Se você se lembrar da identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

A velocidade escalar pode ser reescrita como:

v t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Ou seja:

v t = 4 - 8 cos ⁡ t + 4 1 = 8 - 8 cos ⁡ t

Com esses resultados, conseguimos encontrar a forma da curvatura substituindo-as na sua fórmula dada no Passo anterior. Logo, a curvatura pode ser calculada como:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

k t = 2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t 8 - 8 cos ⁡ t 3

Passo 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = i j k 2 - 2 cos ⁡ t 2 s e n t 0 2 s e n t 2 cos ⁡ t 0

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = 2 - 2 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t k - 2 s e n t 2 k

Então:

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = 4 cos ⁡ t - 4 cos 2 ⁡ t - 4 s e n 2 t k

Reescrevendo esse resultado como:

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = 4 cos ⁡ t - 4 cos 2 ⁡ t + s e n 2 t k

E usando a identidade trigonométrica mais uma vez:

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = 4 cos ⁡ t - 4 k

Na notação vetorial:

2 s e n t , 2 cos ⁡ t × 2 - 2 cos ⁡ t , 2 s e n t = 0 ,   0 , 4 cos ⁡ t - 4

Assim:

k t = 0 ,   0,4 cos ⁡ t - 4 8 - 8 cos ⁡ t 3

Passo 4

Por fim, resolvendo o módulo do denominador e transformando a raiz quadrada em expoente:

k t = 4 cos ⁡ t - 4 2 8 - 8 cos ⁡ t 3

Portanto, a curvatura da trajetória do cometa será dada por:

k t = 4 cos ⁡ t - 4 8 - 8 cos ⁡ t 3 = 4 cos ⁡ t - 4 ( 8 - 8 cos ⁡ t ) 8 - 8 cos ⁡ t

Tirando os fatores comuns, teremos:

k t = - 4 ( 1 - cos ⁡ t ) 8 ( 1 - cos ⁡ t ) 8 - 8 cos ⁡ t

Então:

k t = - 1 2 8 - 8 cos ⁡ t

Agora, aplicando a propriedade da primeira derivada, iremos encontrar os pontos críticos da curvatura. Logo:

k ' t = - 1 2 - 1 2 8 s e n t 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2

Então:

k ' t = 2 s e n t 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2

Agora, igualando esse resultado a zero:

k ' t = 0 = 2 s e n t 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2

Podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador da direita:

2 s e n t 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2 = 0 8 - 8 cos ⁡ t 3 / 2

Dessa forma:

2 s e n t = 0 → s e n t = 0

Para atender a essa condição, o valor de t deve ser:

t = 0 ,   t = π ,   t = 2 π

Que são os pontos críticos.

Passo 5

Para os valores t = 0 e t = 2 π , o valor de y é mínimo y = 0 , ou seja, é a parte mais baixa da curva. Já para t = π , o valor de y é máximo y = 4 , a parte mais alta da curva.

Então, encontrando os valores da curvatura em cada um desses pontos, teremos:

t = 0 ,   t = 2 π ∴ k t → - ∞

E:

t = π ∴ k t = - 1 8

Como o resultado do ponto t = π é menor, então a curvatura é mínima. Já para os outros dois pontos que têm o resultado maior, a curvatura é máxima, teoricamente (pelo fato de que não há como definir uma curvatura infinita).

Passo 6

Agora, para encontrar os pontos máximo e mínimo da velocidade, podemos analisar a equação dessa variável que foi encontrara anteriormente:

v t = 8 - 8 cos ⁡ t

Para a velocidade ser máxima, o valor da função cosseno deve ser igual a - 1 . Isso irá ocorrer na seguinte condição:

cos ⁡ t = - 1 → t = π

E, para a velocidade ser mínima, a função cosseno deve ser igual a 1:

cos ⁡ t = 1 → t = 0   o u   t = 2 π

Então, concluímos que a velocidade terá valor máximo no ponto 2 π ,   4 e valor mínimo nos pontos 0 ,   0 e 4 π ,   0 .

Passo 7

Usando cada um desses valores de t , podemos substituí-los nas equações da velocidade e aceleração vetoriais e representar os vetores obtidos na figura a seguir:

Resposta

A velocidade terá valor máximo no ponto 2 π ,   4 e valor mínimo nos pontos 0 ,   0 e 4 π ,   0 .

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