Enunciado

Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico z / c = x 2 / a 2 + y 2 / b 2 no ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) pode ser escrita como

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 = z + z 0 c

Passo 1

Podemos reescrever a equação z / c = x 2 / a 2 + y 2 / b 2 como sendo

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z c = 0

Agora podemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície de nível do tipo F x , y , z = k em ( x 0 , y 0 , z 0 ) pela fórmula 19 desta seção

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

No nosso caso temos que

F x , y , z = x 2 a 2 + y 2 b 2 - z c

e k = 0 .

Passo 2

Calculando as derivadas parciais

F x = 2 x a 2

F y = 2 y b 2

F z = - 1 c

Substituindo na equação do plano

2 x 0 a 2 x - x 0 + 2 y 0 b 2 y - y 0 - 1 c z - z 0 = 0

Passo 3

Distribuindo a multiplicação

2 x x 0 a 2 - 2 x 0 2 a 2 + 2 y y 0 b 2 - 2 y 0 2 b 2 - z c + z 0 c = 0

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 - 2 x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 - z c + z 0 c = 0

Como o ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) pertence a função z / c = x 2 / a 2 + y 2 / b 2

x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 = z 0 c

Então

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 - 2 z 0 c - z c + z 0 c = 0

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 - z c - z 0 c = 0

2 x x 0 a 2 + 2 y y 0 b 2 = z + z 0 c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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