Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 55
Uma função é dita homogênea de grau se satisfaz a equação para todo valor de , onde é o número inteiro e positivo e tem as segundas derivadas parciais contínuas.
- Verifique que é homogênea de grau .
- Mostre que, se é homogênea de grau , então
[Sugestão: Utilize a Regra da Cadeia para derivar com relação a .]
Passo 1
(a) Para verificar que a função é homogênea, vamos aplicar no argumento da função
Colocando em evidencia
O que está entre parênteses é , então
Então chegamos em uma expressão da forma , onde , o que indica que a função é homogênea de grau .
Passo 2
(b) Vamos partir da igualdade
Vamos derivar parcialmente os dois lados em relação a , olhando primeiramente para o lado direito
Olhando agora para o outro lado
Vamos usar a substituição e
Voltando a igualdade
Como é homogênea, a igualdade tem que valer para qualquer valor de , então usando
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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