Enunciado

Uma função f é dita homogênea de grau n se satisfaz a equação f t x , t y = t n f ( x , y ) para todo valor de t , onde n é o número inteiro e positivo e f tem as segundas derivadas parciais contínuas.

  1. Verifique que f x , y = x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3 é homogênea de grau 3 .
  2. Mostre que, se f é homogênea de grau n , então

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f ( x , y )

[Sugestão: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f ( t x , t y ) com relação a t .]

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de provar teorema com regra da cadeia, vamos lá!

A questão nos apresenta um conceito de função homogênea e nos pede primeiro para verificar esse conceito em

f x , y = x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3

Mas como fazemos isso? Simples, só precisamos adaptar nossa função ao formato da função homogênea

f t x , t y = t n f ( x , y )

E testar se a igualdade é verdadeira!

Depois temos que provar a seguinte expressão

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y = n f ( x , y )

Para uma função f genérica, homogênea e de grau n . Para isso, podemos manipular a equação da função homogênea (como se fosse a nossa função) até chegarmos na igualdade proposta!

Passo 2

Para verificar que a função f é homogênea, vamos aplicar ( t x , t y ) no argumento da função f

f t x , t y = t x 2 t y + 2 t x t y 2 + 5 t y 3

f t x , t y = t 3 x 2 y + 2 t 3 x y 2 + 5 t 3 y 3

Colocando t 3 em evidencia

f t x , t y = t 3 ( x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3 )

Observe que o termo entre parênteses é exatamente f ( x , y ) ! Então

f t x , t y = t 3 f ( x , y )

Como chegamos em uma expressão da forma f t x , t y = t n f ( x , y ) , onde n = 3 , provamos que a função f é homogênea e de grau 3 .

Passo 3

Para chegarmos na expressão proposta vamos partir da equação da função homogênea

f t x , t y = t n f ( x , y )

Derivando parcialmente os dois lados em relação a t

Para o lado esquerdo da igualdade:

Buscamos

∂ ∂ t f t x , t y

Se definirmos

u = t x

v = t y

Então temos

f u , v

De forma que agora podemos utilizar a regra da cadeia para encontrar essa derivada!

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ ∂ t f u , v

Aplicando a regra da cadeia para a nossa função, ficamos com

∂ ∂ t f u , v = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t

Mas veja que

∂ u ∂ t = x

∂ v ∂ t = y

De forma que

∂ ∂ t f u , v = ∂ f ∂ u x + ∂ f ∂ v y

Substituindo u e v de volta

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ f ∂ ( t x ) x + ∂ f ∂ ( t y ) y

Para o lado direito da igualdade (como estamos derivando em t , as variáveis x e y são consideradas constantes):

∂ ∂ t t n f x , y = n t n - 1 f x , y

De forma que, pela igualdade da expressão inicial

∂ f ∂ ( t x ) x + ∂ f ∂ ( t y ) y = n t n - 1 f x , y

Como f é homogênea, a igualdade tem que valer para qualquer valor de t , então usando t = 1

∂ f ∂ x x + ∂ f ∂ y y = n f x , y

Exatamente a expressão que o enunciado propõe!

Resposta

(a) f x , y = x 2 y + 2 x y 2 + 5 y 3 é homogênea de grau 3

(b) A igualdade ∂ f ∂ x x + ∂ f ∂ y y = n f x , y

É valida!

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