Enunciado

Mostre que a equação 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Temos a função f x = 1 + 2 x + x 3 + 4 x 5 = 0 .

Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz, então:

f - 1 = - 6 < 0 e f 0 = 1 > 0

Como f é uma função polinomial, ela é contínua; assim, o Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um número c entre - 1 e 0 tal que f c = 0 . A equação dada, portanto, tem uma raiz.

Passo 2

Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolle e argumentamos por contradição. Suponha que ele tenha duas raízes a e b com a < b . Então f a = f b = 0 .

Como f é uma função polinomial, é derivável no intervalo ( a , b ) e contínua em [ a , b ] .

Passo 3

Pelo Teorema de Rolle, existe um número r em ( a , b ) tal que f ' r = 0 , mas f ' x = 2 + 3 x 2 + 20 x 4 ≥ 2 para todo x , então f ' ( x ) não pode ser zero.

Essa contradição mostra que a equação não pode ter duas raízes reais diferentes, consequentemente, há exatamente uma raiz real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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