Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 17
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Temos a função .
Primeiro, usamos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz, então:
e
Como é uma função polinomial, ela é contínua; assim, o Teorema do Valor Intermediário afirma que existe um número entre e tal que . A equação dada, portanto, tem uma raiz.
Passo 2
Para mostrar que a equação não tem outra raiz real, usamos o Teorema de Rolle e argumentamos por contradição. Suponha que ele tenha duas raízes e com . Então .
Como é uma função polinomial, é derivável no intervalo e contínua em .
Passo 3
Pelo Teorema de Rolle, existe um número em tal que , mas para todo , então não pode ser zero.
Essa contradição mostra que a equação não pode ter duas raízes reais diferentes, consequentemente, há exatamente uma raiz real.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)