Enunciado

  1. Faça o gráfico da função f x = x + 4 x na janela retangular [ 0,10 ] por [ 0,10 ] .
  2. Faça o gráfico da reta secante que passa pelos pontos ( 1,5 ) e ( 8 ,   8,5 ) na mesma tela que f .
  3. Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para essa função f e o intervalo [ 1,8 ] . Então, faça o gráfico da reta no ponto ( c , f c ) e observe que ela é paralela à reta secante.

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... a questão é bem direta e pede algumas coisinhas sobre a seguinte função:

f x = x + 4 x

Em tão vamos devagarinho aqui em cada passo e analisar o que o enunciado pede, certinho?? 😉

A gente ainda vai precisar do Teorema do Valor Médio, mas lembre-se de já dele:

“O Teorema do Valor Médio afirma que se uma função contínua f ( x ) é diferenciável em um intervalo fechado [ a , b ] , então existe pelo menos um ponto c em ( a , b ) onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação média da função nesse intervalo.”

Passo 2

Letra a).

Primeiro vamos plotar a função na janela retangular [ 0,10 ] por [ 0,10 ] :

Passo 3

Letra b).

Agora, fazendo o gráfico da reta secante que passa pelos pontos ( 1,5 ) e ( 8 ,   8,5 ) na mesma tela que f , temos:

Passo 4

Letra c).

Agora, devemos encontrar o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para essa função f e o intervalo [ 1,8 ] .

Encontrando o número c :

f x = x + 4 x

Derivando, temos:

f ' x = 1 - 4 x 2

Então, f ' c = 1 2 (inclinação da função) e:

c 2 = 8   → c = 2 2

Com isso, temos que:

f c = 2 2 + 4 2 2 = 3 2

Concluindo, uma equação da linha tangente é

y - 3 2 = 1 2 x - 2 2 ∴

y = 1 2 x + 2 2

Passo 5

Fazendo o gráfico da reta no ponto c , f c :

Resposta

a)

b)

c)

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