Enunciado

Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.

2 x + cos ⁡ x = 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que demonstremos que a equação abaixo tem exatamente uma raiz real:

2 x + cos ⁡ x = 0

Para isso, devemos usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz.

Assim, precisamos achar dois pontos em que f ( x ) mude seu sinal. Vamos lá!

Passo 2

Quando a função será maior que 0? Sabemos que o cosseno é positivo quando é igual a zero e negativo quando é - π , logo:

f 0 = 2 * 0 + cos ⁡ 0

f 0 = 1

E menor que zero?

f - π = 2 * ( - π ) + cos ⁡ ( - π )

f - π = - 2 π - 1

Então já sabemos que ela tem uma raiz real em ( - π , 0 ) .

Passo 3

Caso ela tenha duas raízes, deve ser contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) .

Existe um teorema que explica isso, o Teorema de Rolle, o qual nos diz que existe um número r em ( a ,   b ) tal que f ' r = 0 .

Então, vamos testar...

f x = 2 x + cos ⁡ x ∴

f ' x = 2 - sin ⁡ x

Se fizermos x = r , perceba que f ' r será maior que zero desde que sin ⁡ r ≤ 1 .

Sendo assim, essa contradição mostra que a função não possui duas raízes reais distintas.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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