Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 19
Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que demonstremos que a equação abaixo tem exatamente uma raiz real:
Para isso, devemos usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz.
Assim, precisamos achar dois pontos em que mude seu sinal. Vamos lá!
Passo 2
Quando a função será maior que 0? Sabemos que o cosseno é positivo quando é igual a zero e negativo quando é -, logo:
E menor que zero?
Então já sabemos que ela tem uma raiz real em .
Passo 3
Caso ela tenha duas raízes, deve ser contínua em e diferenciável em .
Existe um teorema que explica isso, o Teorema de Rolle, o qual nos diz que existe um número em tal que .
Então, vamos testar...
Se fizermos , perceba que será maior que zero desde que .
Sendo assim, essa contradição mostra que a função não possui duas raízes reais distintas.
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
Demonstração