Enunciado

Mostre que a equação x 3 - 15 x + c = 0 tem no máximo uma raiz no intervalo [ - 2,2 ] .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Precisamos encontrar o valor de (   c   ) de modo que a equação (   x 3 –   15 x   +   c   =   0   ) tenha no máximo 1 raiz real no intervalo de (   - 2 ,   2 ) .

Para isso, iremos utilizar do Teorema do Valor Médio.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário

Seja f x uma função contínua no intervalo fechado a , b e seja x 0 um número real entre f a e f b com f a ≤ x 0 ≤ f b ou f b ≤ x 0 ≤ f a . Então, existe pelo menos um c tal que   a   ≤ c   ≤ b   e f c = x 0 .

Seja ( f x = x 3 - 15 x + c ) dado no intervalo - 2,2 .

O domínio da função f x é ( R ) , então f ( x ) é contínua em [ - 2,2 ] .

Se f ( x ) tem uma raiz, então f ( x ) = 0 para algum x .

Reescrevendo: ( x 3 = 15 x - c ) , definindo g x = x 3 e h x = 15 x - c .

Desenhe gráficos no Geogebra.

Vemos que tem exatamente um ponto de interseção, o ponto A .

Para o intervalo temos - 2,2 , então (   - 2   ≤ A   ≤ 2   ) .

Passo 3

Agora, calculamos f - 2 e f 2 . Substituímos x   =   - 2   e   x   =   2   na função f x = x 3 - 15 x + c . Vamos considerar c como uma constante qualquer, por exemplo, c = 1 .

( f - 2 = - 2 3 - 15 - 2 + 1 = - 8 + 30 + 1 = 24 + 1 > 0 )

( f 2 = 2 3 - 15 2 + 1 = 8 - 30 + 1 = - 22 + 1 < 0 )

Portanto, aplicando o Teorema do Valor Intermediário, f x tem uma raiz em - 2,2 .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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