Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 21
Mostre que a equação tem no máximo uma raiz no intervalo .
Passo 1
Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Precisamos encontrar o valor de de modo que a equação tenha no máximo 1 raiz real no intervalo de .
Para isso, iremos utilizar do Teorema do Valor Médio.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário
Seja uma função contínua no intervalo fechado e seja um número real entre e com ou . Então, existe pelo menos um tal que e .
Seja dado no intervalo .
O domínio da função é , então é contínua em .
Se tem uma raiz, então para algum .
Reescrevendo: , definindo e .
Desenhe gráficos no Geogebra.
Vemos que tem exatamente um ponto de interseção, o ponto .
Para o intervalo temos , então .
Passo 3
Agora, calculamos e . Substituímos e na função . Vamos considerar como uma constante qualquer, por exemplo, .
Portanto, aplicando o Teorema do Valor Intermediário, tem uma raiz em .
Resposta
Ver o desenvolvimento.
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