Enunciado

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar (del z)/(del s) e (del z)/(del t) .

8. z = a r c tan (x^2 + y^2) , x = s ln t , y = t e^s

Passo 1

Para encontrarmos (del z)/(del s) e (del z)/(del t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(del z)/(del s) = (del z)/(del x) (del x)/(del s) + (del z)/(del y) (del y)/(del s)

(del z)/(del t) = (del z)/(del x) (del x)/(del t) + (del z)/(del y) (del y)/(del t)

As derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del s) são:

(del z)/(del x) = (2 x)/(1 + (x^2 + y^2)^2)

(del x)/(del s) = ln t

(del z)/(del y) = (2 y)/(1 + (x^2 + y^2)^2)

(del y)/(del s) = t e^s

E as derivadas necessárias para determinarmos (del z)/(del t) são:

(del z)/(del x) = (2 x)/(1 + (x^2 + y^2)^2)

(del x)/(del t) = (s)/(t)

(del z)/(del y) = (2 y)/(1 + (x^2 + y^2)^2)

(del y)/(del t) = e^s

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para (del z)/(del s) :

(del z)/(del s) = (2 x)/(1 + (x^2 + y^2)^2) . ln t + (2 y)/(1 + (x^2 + y^2)^2) . t e^s

:. (del z)/(del s) = (2)/(1 + (x^2 + y^2)^2) (x . ln t + y . t e^s)

Para (del z)/(del t) :

(del z)/(del t) = (2 x)/(1 + (x^2 + y^2)^2) . (s)/(t) + (2 y)/(1 + (x^2 + y^2)^2) . e^s

:. (del z)/(del t) = (2)/(1 + (x^2 + y^2)^2) ((x s)/(t) + y e^s)

Resposta

(del z)/(del s) = (2)/(1 + (x^2 + y^2)^2) (x . ln t + y . t e^s)

(del z)/(del t) = (2)/(1 + (x^2 + y^2)^2) ((x s)/(t) + y e^s)

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