Enunciado

(a) Mostre que as equações paramétricas x = a   s e n   u cos ⁡ u   ,   y = b   s e n   u   s e n   v   ,   z = c cos ⁡ u   ,   0 ≤ u ≤ π   ,   0 ≤ v ≤ 2 π , representam um elipsoide.

(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 .

(c) Determine, mas não calcule, a integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).

Passo 1

(a) Galera, olha isso:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = s e n   u cos ⁡ v 2 + s e n   u   s e n   v 2 + cos 2 ⁡ u = s e n 2   u + cos 2 ⁡ u = 1

Ou seja, as equações paramétricas satisfazem a equação do elipsoide:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 2

(b) Agora vamos traçar o gráfico do elipsoide com a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 :

Passo 3

(c) Pessoal, utilizando a = 1   ,   b = 2   ,   c = 3 nas equações paramétricas, podemos calcular:

r u = cos ⁡ u cos ⁡ v i + 2 cos ⁡ u s e n   v   j - 3 s e n   u   k

r v = - s e n   u   s e n   v   i + 2   s e n   u cos ⁡ v   j + 0   k

Então, temos:

r u × r v = 6   s e n 2   u cos ⁡ v i + 3   s e n 2   u   s e n   v   j + 2   s e n   u cos ⁡ u k

Show! Podemos assim escrever a integral dupla que dá a área da superfície:

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π r u × r v   d u   d v = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 36   s e n 4   u cos 2 ⁡ v + 9   s e n 4   u   s e n 2   v + 4 cos 2 ⁡ u s e n 2   u   d u   d v

Resposta

(c) A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 36   s e n 4   u cos 2 ⁡ v + 9   s e n 4   u   s e n 2   v + 4 cos 2 ⁡ u s e n 2   u   d u   d v

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(a) Determine, mas não calcule, a integral dupla da área da superfície com as equações paramétricas x = au cos ⁡ v,y = bus e nv,z = u 2,0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 2 π (b) Elimine os parâmetros para mostrar que