Enunciado

Utilize coordenadas polares para combinar a soma

∫ 1 / 2 1 ∫ 1 - x 2 x x y     d y   d x + ∫ 1 2 ∫ 0 x x y     d y   d x + ∫ 2 2 ∫ 0 4 - x 2 x y     d y   d x

em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa integral dupla.

Passo 1

Pessoal, se olharmos pra figura seguinte, vamos entender que a região de integração é justamente a região sombreada:

As três integrais que estão se somando tem exatamente o mesmo integrando (função a ser integrada, que nesse caso é x y ). O que muda são apenas as regiões sobre onde estão ocorrendo essa integração. Quando essas integrais se somam, é como se também pudéssemos “somar”, juntar as regiões de cada integração em uma região só.

A região sombreada na figura representa justamente a área total, enquanto as três áreas separadas por linhas pontilhadas são as regiões de cada integral da soma.

Então, no final das contas, estamos integrando sobre 0 ≤ θ ≤ π 4   ,     1 ≤ r ≤ 2 :

∫ 1 / 2 1 ∫ 1 - x 2 x x y     d y   d x + ∫ 1 2 ∫ 0 x x y     d y   d x + ∫ 2 2 ∫ 0 4 - x 2 x y     d y   d x = ∫ 0 π / 4 ∫ 1 2 ( r cos ⁡ θ ) ( r   s e n   θ )     r   d r   d θ

Passo 2

Show! Bora resolver a integral?

∫ 0 π / 4 ∫ 1 2 r 3 s e n θ cos ⁡ θ   d r   d θ = ∫ 0 π / 4 s e n   θ cos ⁡ θ     d θ ∫ 1 2 r 3 d r = s e n 2 θ 2 0 π / 4 r 4 4 1 2 = 1 2 1 2 2 - 0 2 1 4 16 - 1 = 1 8   . 1 2   .   15 = 15 16

Resposta

15 16

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Encontre o valor médio da função f x , y = 1 / x 2 + y 2 na região anular a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 onde 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A Onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro a origem e raios 1 e 3.
∬ D x 2 yd A , onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
∫ π 3 π / 4 ∫ 1 2 rd rd θ
Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?