Enunciado

(a) Mostre que J 0 (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial

x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0

Passo 1

Questão trabalhosa essa aí! FORÇA NA PERUCA!

A primeira coisa a se fazer é calcular a primeira e a segunda derivadas da função de Bessel.

J 0 ( x ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2

J ' 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 2 n n ! 2

J ' 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2 2 2 n n ! 2

.

Passo 2

Agora vamos substituir a função de Bessel e suas derivadas, na forma de série, no lado esquerdo da equação diferencial dada no exercício.

x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x

= x 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n - 2 2 2 n n ! 2 + x ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n - 1 2 2 n n ! 2 + x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2

Passando as variáveis de x pra dentro dos somatórios obtemos

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 2 2 2 n n ! 2

Nota-se que o terceiro somatório, originado de J 0 , começa em n = 0 , diferentemente dos outros dois, que começam de n = 1 . Vamos modificar esse somatório de forma que seu índice também se inicie em n = 1 . Para fazer isso sem alterar os termos da série, basta substituir n por ( n - 1 ) dentro do termo geral da mesma. Tranquilo, né?! Assim temos:

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ( 2 n - 1 ) x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x 2 n - 1 + 2 2 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) ! 2

Passo 3

No ponto em que estamos é possível ver que os termos gerais das séries acima são muito semelhantes. Contudo, ainda é possível melhorar a termo geral da terceira série de forma que ela fique mais parecida com as outras duas. Por isso vamos fazer uma manipulação algébrica e simplificação para ajustá-la.

Abrimos um parêntese na resolução geral do exercício para que você entenda a manipulação feita na série citada. MUITA ATENÇÃO no passo a passo!

Passo 4

Voltando à resolução geral, já com a terceira série ajustada, temos:

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n ( 2 n - 1 ) 2 2 n n ! 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 - ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 n 2 2 n n ! 2

Agora, FINALMENTE, podemos colocar em evidência os vários termos que as séries têm em comum.

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2 2 n - 1 + 1 - 2 n = 0

UFA!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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