Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 35a
(a) Mostre que (a função de Bessel de ordem 0 dada no Exemplo 4) satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Questão trabalhosa essa aí! FORÇA NA PERUCA!
A primeira coisa a se fazer é calcular a primeira e a segunda derivadas da função de Bessel.
.
Passo 2
Agora vamos substituir a função de Bessel e suas derivadas, na forma de série, no lado esquerdo da equação diferencial dada no exercício.
Passando as variáveis de pra dentro dos somatórios obtemos
Nota-se que o terceiro somatório, originado de , começa em , diferentemente dos outros dois, que começam de . Vamos modificar esse somatório de forma que seu índice também se inicie em . Para fazer isso sem alterar os termos da série, basta substituir por dentro do termo geral da mesma. Tranquilo, né?! Assim temos:
Passo 3
No ponto em que estamos é possível ver que os termos gerais das séries acima são muito semelhantes. Contudo, ainda é possível melhorar a termo geral da terceira série de forma que ela fique mais parecida com as outras duas. Por isso vamos fazer uma manipulação algébrica e simplificação para ajustá-la.
Abrimos um parêntese na resolução geral do exercício para que você entenda a manipulação feita na série citada. MUITA ATENÇÃO no passo a passo!
Passo 4
Voltando à resolução geral, já com a terceira série ajustada, temos:
Agora, FINALMENTE, podemos colocar em evidência os vários termos que as séries têm em comum.
UFA!!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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