Enunciado

Demonstre a Desigualdade de Taylor para n = 2 , isto é, demonstre que, se f ' ' ' x ≤ M para x - a ≤ d , então

R 2 x ≤ M 6 x - a 3 para x - a ≤ d

Passo 1

Isso parece complicado né? De fato não é uma questão simples, mas ela assusta mais do que realmente ela é. Para demonstrarmos isso vamos ter que partir de f ' ' ' x ≤   M até chegar em R 2 x ≤ M 6 x - a 3 , como vamos fazer isso? Seguindo a mesma lógica da demonstração do livro para n = 1 na página 701, com sucessivas integrações.

Primeiramente, vamos partir de f ' ' ' x ≤   M , para um intervalo a ≤ x ≤ a + d , ou 0 ≤ x - a ≤ d e vamos integrar a primeira desigualdade em um intervalo de a até x que significa que vamos começar em a , mas deixaremos o fim variar dentro do intervalo a ≤ x ≤ a + d . Para titulo de organização vamos mudar a variável de x para t antes de integrar.

Passo 2

Então vamos lá, primeiro partimos de

f ' ' ' x ≤   M

E vamos integrar ambos os lados da desigualdade

∫ a x f ' ' ' t   d t ≤ ∫ a x M   d t

f ' ' t a x ≤ M t a x

f ' ' x - f ' ' a ≤ M ( x - a )

Passo 3

Então isolamos f ' ' x e repetimos o processo

f ' ' x ≤ f ' ' a + M ( x - a )

Integrando

∫ a x f ' ' t   d t ≤ ∫ a x ( f ' ' a + M ( t - a ) )   d t

f ' t a x ≤ f ' ' a t + M t - a 2 2 a x

f ' x - f ' a ≤ f ' ' a x - a + M x - a 2 2

Isolando f ' ( x )

f ' x ≤ f ' a + f ' ' a x - a + M x - a 2 2

Integrando novamente para finalmente chegarmos em f ( x )

∫ a x f ' t   d t ≤ ∫ a x f ' a + f ' ' a t - a + M t - a 2 2 d t

f x - f a ≤ f ' a x - a + f ' ' a x - a 2 2 + M x - a 3 2 ⋅ 3

Isolando agora o termo que contém M

f x - f a + f ' a x - a + f ' ' a x - a 2 2 ≤ M x - a 3 2 ⋅ 3

Passo 4

Repara que eu já coloquei o menos em evidencia ali e podemos ver que o que está dentro do parênteses é T 2 ( x ) , não consegue ver? Vamos deixar a cara dele igual a soma de Taylor

f a + f ' a x - a + f ' ' a x - a 2 2 = f a 0 ! + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2

= ∑ n = 0 2 f n a n ! x - a n = T 2 ( x )

Então temos na desigualdade

f x - T 2 ( x ) ≤ M x - a 3 6

E por definição R n = f x - T n , então R 2 = f x - T 2 , logo

R 2 ( x ) ≤ M x - a 3 6

Passo 5

Se seguirmos os mesmos passos para f ' ' ' x ≥ -   M em um intervalo a - d ≤ x ≤ a , ou - d ≤ x - a ≤ 0 chegaremos em

R 2 x ≥ - M x - a 3 6

Então podemos generalizar de forma que, para f ' ' ' x ≤   M para 0 ≤ x - a ≤ d temos

R 2 x ≤ M x - a 3 6

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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