Enunciado

Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial

d P d L = α P L

Passo 1

Show de bola, galera. Em primeiro lugar, vamos nos recordar da cara da função produção de Cobb-Douglas

P L , K = b L α K β

Tranquilo....Se repararmos bem no enunciado, aquele K 0 na expressão indica que a variável K está assumindo um valor constante de K 0 . Desta forma, nossa então função de 2 variáveis P L , K se torna uma função de uma única variável quando fixamos a variável K = K 0 .

Beleza...Vamos buscar agora uma solução para a equação diferencial apresentada no nosso Passo 2.

Passo 2

d P d L = α P L ↔ d P P = α d L L ↔ ∫ d P P = α ∫ d L L ↔ ln ⁡ P = α ∙ ln ⁡ L + C ↔ ln ⁡ P = ln ⁡ L α ∙ e C ⏟ C 1 ∴

∴ P = C 1 L α

Voltemos à definição da função de Cobb-Douglas P L , K = b L α K β . Ao fixarmos K = K 0 , P L , K 0 = b L α K 0 β = b K 0 β ⏟ C o n s t a n t e   q u e   d e p e n d e   d e   K 0 L α .

Logo, chegamos à conclusão de que realmente P L , K 0 = C 1 K 0 L α e que esta é solução da equação diferencial d P d L = α P L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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