Enunciado

Mostre que a função produção de Cobb-Douglas P = b L α K β satisfaz a equação

L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K = α + β P

Passo 1

Show de bola, galera. Para provarmos que a função P satisfaz a equação proposta no enunciado, precisaremos calcular primeiro as seguintes derivadas parciais: ∂ P ∂ L e ∂ P ∂ K . Partiu?

∂ P ∂ L = ∂ b L α K β ∂ L = b K β ∂ L α ∂ L = b K β α L α - 1

∂ P ∂ K = ∂ b L α K β ∂ K = b L α ∂ K β ∂ K = b L α β K β - 1

Passo 2

Beleza....Agora vamos colocar essas expressões na equação proposta.

L ∂ P ∂ L + K ∂ P ∂ K

= L b K β α L α - 1 ⏟ ∂ P ∂ L + K b L α β K β - 1 ⏟ ∂ P ∂ K

Como L multiplica   b K β α L α - 1 podemos somar o expoente e ficamos com

b K β α L α

E mesma coisa para K

b L α β K β

Então nossa equação fica

b K β α L α + b L α β K β

Podemos colocar b K β L α em evidencia e ficamos com

b K β L α ( α + β )

O enunciado diz que P = b K β L α , então

α + β b L α K β ⏟ F u n ç ã o   P = α + β P

Show de bola! Chegamos na prova de que a função é solução da equação do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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