Enunciado

O astrônomo Giovanni Cassini (1965-1712) estudou a família de curvas com equações polares

r 4 - 2 c 2 r 2 cos ⁡ 2 θ + c 4 - a 4 = 0

Para as quais a e c são números reais positivos. Essas curvas são chamadas ovas de Cassini, embora tenham formado oval apenas para certos valores de a e c . (Cassini pensou que essas curvas pudessem representar as orbitas planetárias melhor que as elipses de Kepler). Investigue a variedade de formatos que essas curvas podem ter. Em particular, como estão relacionados a e c quando a curva se divide em duas partes.

Passo 1

Não sei se você reparou, mas essa equação aí é uma equação polar implícita e a maioria dos programas gráficos não plota equações polares implícitas.

Isso significa que só pra conseguir começar a questão, a gente ainda vai ter que achar a equação explicita dessa bagaça aí.........

Repare que temos uma equação quadrática em r 2 , ou seja, organizando melhor

r 2 2 - 2 c 2 cos ⁡ 2 θ r 2 + ( c 4 - a 4 ) = 0

Então precisamos achar, a partir dessa expessão quadrática, o valor de r em função de θ e também de a e c , que são as variáveis que queremos analisar o comportamento, afinal de contas.

Mesmo que pareça muuuuito complicado, como se trata de uma equação quadrática, podemos resolver usando a fórmula de baskara. Só que o nosso " x " , na verdade é r 2 . Aí depois pra achar o valor de r a gente ainda vai ter que tirar a raíz.

Vamos lá.

r 2 = - - 2 c 2 cos ⁡ 2 θ ± - 2 c 2 cos ⁡ 2 θ 2 - 4.1 . c 4 - a 4 2.1

r 2 = 2 c 2 cos ⁡ 2 θ ± 4 c 4 cos 2 ⁡ 2 θ - 4 c 4 + 4 a 4 2

r 2 = 2 c 2 cos ⁡ 2 θ ± 4 c 4 cos 2 ⁡ 2 θ - 1 + 4 a 4 2

r 2 = 2 c 2 cos ⁡ 2 θ ± 2 - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4 2

r 2 = c 2 cos ⁡ 2 θ ± - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

r = ± c 2 cos ⁡ 2 θ ± - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

E pronto, é essa coisa bonita ai que temos que analisar o comportamento quando a e c variam.

Repare que nós temos QUATRO curvas!

r 1 = + c 2 cos ⁡ 2 θ + - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

r 2 = + c 2 cos ⁡ 2 θ - - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

r 3 = - c 2 cos ⁡ 2 θ + - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

r 3 = - c 2 cos ⁡ 2 θ - - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

As curvas ± porém são iguais, mas uma está na parte positiva e outra na parte negativa.

Passo 2

Vamos começar fazendo

a = c = 1

Taí nosso velho conhecido: o símbolo do infinito.

Passo 3

Agora vamos manter c = 1 fixo e fazer a variar.

- a = 0,9 :

E a curva se divide em duas partes, formando duas bolinhas, sendo a parte vermelha a curva formada por

r = ± c 2 cos ⁡ 2 θ + - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

E a parte rosa a curva formada por

r = ± c 2 cos ⁡ 2 θ - - c 4 sen 2 ⁡ 2 θ + a 4

Beleza?

- a = 0,6 :

Ainda temos duas (que no caso são quatro né) curvas separadas, só que agora, mais afastadas uma da outra e mais redondinhas também, né?!

Assim, podemos notar que conforme a diminui, a curva se divide em duas partes simétricas, que vão se tornando menores, mais afastadas uma da outra e mais redondas.

Passo 4

Agora vamos fazer a aumentar.

- a = 1,1 :

A curva aumenta de tamanho e se junta novamente em uma única curva fechada.

- a = 2 :

Aumentou mais ainda e está se tornando cada vez mais redonda.

Assim, conforme a gente aumenta o valor de a > 1 , a curva volta a ser uma curva única fechada que tende a ficar cada vez mais redonda.

Passo 5

Agora vamos pegar um valor de a fixo, por exemplo a = 1,01 e fazer o c variar.

- c = 2

- c = 3

Aconteceu o mesmo que quando diminuímos o valor de a mantendo c fixo.

Passo 6

Agora vamos mudar completamente o valor de a fixo. a = 4,04 e vamos fazer

- c = 4 :

Olha o que que aconteceu com a curva!!! Ela mudou completamente seu formato!

Quer dizer, parece que a razão c a influencia no formato da curva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta x = t 3 + t y = t 2 + 2 - 2 ≤t ≤ 2
Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado y =2 cos ⁡ t x = 5 sin ⁡ t
Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado y =1 +3 cos ⁡ t x = 2 +sin ⁡ t
Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado y =cos ² ⁡ t ² x = sin ⁡ t
Use os gráficos de x = ftey =g ( t ) para esboçar a curva parametrizada x = ftey =g ( t ) . Indique com setas a direção na qual a curva é traçada quanto t aumenta.