Derivadas Parciais

Teoria Completa

Derivadas de funções de várias variáveis

Se tivermos uma função como

f x , y = x y 3 + 3 x 2 y + e x y

E quisermos calcular a derivada dela, como você acha que devemos fazer?

“Mas como assim?? Tem duas variáveis ai, como eu vou saber o que fazer?”

Justamente! Esse é o ponto!

Quando temos uma função de mais de uma variável, para derivá-la, temos que usar o conceito de derivadas parciais.

Assim, a gente considera as demais variáveis como constantes e deriva só em relação aquela que queremos. Ou seja, derivamos a nossa função, que tem várias variáveis, em relação a apenas uma delas de cada vez.

E aí é só derivar normalmente, como sempre fizemos ao longo de nossas belas vidas, com todas as regras de derivação que já aprendemos, mas em relação apenas a variável de interesse.

Que isso, é só isso?!

Sim, é só isso

No caso do nosso exemplo, como temos apenas duas variáveis, teremos uma derivada parcial em relação a x e uma derivada parcial em relação a y .

A notação que usamos é a seguinte:

Derivada parcial de f ( x , y ) em relação a x :

∂ f ( x , y ) ∂ x = f x ( x , y )

Derivada parcial de f ( x , y ) em relação a y :

∂ f ( x , y ) ∂ y = f y ( x , y )

Hum, ok. Mas vamos ver como isso funciona na prática.

Para calcular as derivadas parciais da nossa função

f x , y = x y 3 + 3 x 2 y + e x y

Consideramos y constante e temos a derivada parcial em relação a x :

∂ f ( x , y ) ∂ x = f x x , y = 1 . y 3 + 3.2 x y + e x y . y = y 3 + 6 x y + y e x y

E, do mesmo modo, consideramos x constante e temos a derivada parcial em relação a y :

∂ f ( x , y ) ∂ y = f y x , y = x . 3 y 2 + 3 x 2 . 1 + e x y . x = 3 x y 2 + 3 x 2 + x e x y

E pra você não esquecer nunca mais qual é a ideia, vou te contar uma piadinha nerd.

Tendeu, tendeu? Para a derivada parcial em relação a y até o e x é uma constante!

Muito bom, né? Hahaha

Agora treine bastante nos exercícios

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

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Passo 1

Para calcular ∂ f ∂ x consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 1 z

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 0 + 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

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Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = e x y . 1 y ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . 2 x y . e x y

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y . - x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . - x 2 y 2 . e x y

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #4

UNICAMP, Cálculo II, Exame 2014 Noite, questão 1, item a.

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y )