Derivadas Parciais

Teoria Completa

Derivadas de funções de várias variáveis

Se tivermos uma função como

f x , y = x y 3 + 3 x 2 y + e x y

E quisermos calcular a derivada dela, como você acha que devemos fazer?

“Mas como assim?? Tem duas variáveis ai, como eu vou saber o que fazer?”

Justamente! Esse é o ponto!

Quando temos uma função de mais de uma variável, para derivá-la, temos que usar o conceito de derivadas parciais.

Assim, a gente considera as demais variáveis como constantes e deriva só em relação aquela que queremos. Ou seja, derivamos a nossa função, que tem várias variáveis, em relação a apenas uma delas de cada vez.

E aí é só derivar normalmente, como sempre fizemos ao longo de nossas belas vidas, com todas as regras de derivação que já aprendemos, mas em relação apenas a variável de interesse.

Que isso, é só isso?!

Sim, é só isso

No caso do nosso exemplo, como temos apenas duas variáveis, teremos uma derivada parcial em relação a x e uma derivada parcial em relação a y .

A notação que usamos é a seguinte:

Derivada parcial de f ( x , y ) em relação a x :

f ( x , y ) x = f x ( x , y )

Derivada parcial de f ( x , y ) em relação a y :

f ( x , y ) y = f y ( x , y )

Hum, ok. Mas vamos ver como isso funciona na prática.

Para calcular as derivadas parciais da nossa função

f x , y = x y 3 + 3 x 2 y + e x y

Consideramos y constante e temos a derivada parcial em relação a x :

f ( x , y ) x = f x x , y = 1 . y 3 + 3.2 x y + e x y . y = y 3 + 6 x y + y e x y

E, do mesmo modo, consideramos x constante e temos a derivada parcial em relação a y :

f ( x , y ) y = f y x , y = x . 3 y 2 + 3 x 2 . 1 + e x y . x = 3 x y 2 + 3 x 2 + x e x y

E pra você não esquecer nunca mais qual é a ideia, vou te contar uma piadinha nerd.

Tendeu, tendeu? Para a derivada parcial em relação a y até o e x é uma constante!

Muito bom, né? Hahaha

Agora treine bastante nos exercícios

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Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

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Passo 1

Para calcular f x consideramos y e z constantes:

f x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

f x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular f y consideramos x e z constantes:

f y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 1 z

f y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular f z consideramos x e y constantes:

f z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

f z = 2 y

Resposta

f x = 2 x y - 3 y 2

f y = x 2 - 6 x y + 2 z

f z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

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Passo 1

Calculando f x :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

f x = x 3 + y 2 ' x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

f x = 3 x 2 + 0 x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

f x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

f x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

f x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Calculando f y :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

f y = x 3 + y 2 ' x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

f y = 0 + 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

f y = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

f y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

f y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

f y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

f x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

f y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

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Passo 1

Calculando f x :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

f x = e x y . 1 y ln x 2 y + 1 x 2 y . 2 x y . e x y

f x = e x y 1 y ln x 2 y + 2 x

Passo 2

Calculando f y :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

f y = e x y . - x y 2 ln x 2 y + 1 x 2 y . - x 2 y 2 . e x y

f y = - e x y x y 2 ln x 2 y + 1 y

Resposta

f x = e x y 1 y ln x 2 y + 2 x

f y = - e x y x y 2 ln x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #4

UNICAMP, Cálculo II, Exame 2014 Noite, questão 1, item a.

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y ) , em que ϕ   : R R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x u x + y u y = 2 u .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Queremos verificar essa relação, que envolve as derivadas parciais de u , então vamos calculá-las! Vamos ter que usar a regra da cadeia e a regra do produto:

u x = 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y

Repare que x y = x y - 1 então, pra outra derivada parcial vamos ter:

u y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x . - 1 y - 2

O que dá:

u y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

Passo 2

-

Show de bola, agora vamos verificar a equação!

x u x + y u y = x 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y + y 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

Poxa, ficou tão grande :( Mas não adianta chorar, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas! Isso vai dar:

2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x y + 2 y ² . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y y 2

= 2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 x y ϕ ' x y + 2 y 2 . ϕ x y - x 2 + y 2 x y ϕ ' x y

Opa! Vai dar pra cortar 2 desses troços estranhos!

Então sobrou:

2 x 2 . ϕ x y + 2 y 2 . ϕ x y = 2 x 2 + 2 y 2 ϕ x y = 2 x 2 + y 2 ϕ x y = 2 u

Beleza! Conseguimos provar a equação! :D

Resposta

Exercício Resolvido #5

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 317, exercício 22.

Calcule as derivadas parciais da função

f x , y = n = 0 x y n     ,     x y < 1

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Passo 1

Essa é uma série geométrica

n = 0 r n

Que converge quando r < 1 para

n = 0 r n = f r = 1 1 - r

Sendo assim,

n = 0 x y n = f x , y = 1 1 - x y

Pois   x y < 1

E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!

Passo 2

Calculando f x :

f x , y = 1 - x y - 1

f x = - 1 - x y - 2 . ( - y )

f x = y 1 - x y 2

Passo 3

Calculando f y :

f x , y = 1 - x y - 1

f y = = - 1 - x y - 2 . ( - x )

f y = x 1 - x y 2

Resposta

f x = y 1 - x y 2

f y = x 1 - x y 2

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