Derivadas Parciais

Teoria Completa

Opa! Fala ai, bem vindo ao RespondeAí! Que tal dar uma olhada em derivadas parciais e ficar craque nesse tópico de Cálculo que muitas vezes derrubam nossas notas na faculdade? Vamos lá!

As derivadas parciais aparecem quando começamos a estudar funções que tem mais de uma variável? Ué?, mais de uma!?! Siim, se liga, você já viu algo com essa carinha aqui:

$$f(x,y)=xy^3+3x^2y+e^{xy}$$

Hmm.. Não é muito bonito, eu sei, mas você concorda comigo que é uma função de duas variáveis né? E perceba que se eu desse um valor para $x$ e um valor para $y$ nós poderíamos calcular o resultado dessa função tranquilamente. Por exemplo:

$$f(1,2)=(1×2^3)+3×(1^2×2)+e^{1×2}$$
$$f(1,2)=14+e^2$$

Show! Mas e se eu te pedisse para calcular a derivada dessa equação? Hm, você teria que se perguntar, em relação a qual variável eu quero calcular a derivada e é ai que surgem as derivadas parciais.

Quando calculamos a derivada de uma função que possuí mais de uma variável, precisamos escolher em relação a qual variável desejamos calcular a derivada. Por exemplo, a função a cima, que possuí duas variáveis, possui duas derivadas parciais diferente:

A derivada em relação a $x$:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_x(x,y)$$

E a derivada em relação a $y$:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f_y(x,y)$$

Ta! Mas como calculamos cada uma delas? Vamos fazer um exemplo, que você vai ver que na prática é muito simples, e depois você pode conferir um ou dois exercícios no final da página!

Vamos começar calculando $f_x(x,y)$, ou seja, a derivada parcial da função $f(x,y)$ em relação a $x$:

$$\frac{\partial(xy^3+3x^2y+e^{xy})}{\partial x}$$

Como $x$ é a variável em relação a quem estamos derivando, podemos considerar todas as outras variáveis da função como constantes.

Então para a primeira parcela da função eu teria:

$$(xy^3)' = y^3$$

Ou seja, considerei $y^3$ como como uma constante, e por isso ela se manteve igual após a derivada.

Para a segunda parcela, novamente derivando em relação a $x$:

$$(3x^2y)'=3y×(2x)$$

Agora para a última parcela, novamente derivando em relação a $x$:

$$(e^{xy})'=y×e^{xy}$$

Aqui, não podemos esquecer da regra do peteleco e de pensar o $y$ como uma constante, por isso que ele aparece multiplicando quando derivamos $e^{xy}$ em relação a $x$.

Então, temos que:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=f_x(x,y)=1y^3+6xy+ye^{xy}$$

Veja se você consegue utilizar, seus conhecimentos sobre derivação, e o exemplo que demos sobre a derivada parcial em relação a $x$, para chegar ao resultado de $f_y(x,y)$:

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=f_y(x,y)=3xy^2+3x^2+xe^{xy}$$

Não se esquece, que agora você vai ter que derivar em relação a $y$, e portanto vai ter que fingir que $x$ é uma constante!

Exercícios Derivadas Parciais

Vamos resolver um exercício com um função de três variáveis?

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:

$$f(x,y,z)=x^2y-3xy^2+2yz$$

Passo 1

Todas as resoluções de exercícios no nosso site são acompanhadas de um desenvolvimento do raciocínio Passo a Passo, para você nunca mais ficar perdido em uma questão.
Para o nosso exercício, temos que identificar as 3 derivadas parciais de primeira ordem que termos que calcular:

$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=f_x(x,y,z)$$
$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=f_y(x,y,z)$$
$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=f_z(x,y,z)$$

Passo 2

Agora vamos começar calculando nossa derivada parcial em relação a $x$:

$$\frac{\partial(x^2y-3xy^2+2yz)}{\partial x}=2xy-3y^2$$

Lembrando que tudo que não diz respeito a $x$ eu posso considerar um constante, por isso que o último termo some, porque derivada de constante vale zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a $y$:

$$\frac{\partial(x^2y-3xy^2+2yz)}{\partial y}=x^2-6xy+2z$$

Passo 4

Calculando em relação a $z$:

$$\frac{\partial(x^2y-3xy^2+2yz)}{\partial z}=2y$$

A derivada em relação a $z$ é a mais bobinha, mas é a que a galera mais costuma errar, reparem que os dois primeiros termos da função não tem a variável $z$ então quando estamos derivando em relação a $z$ podemos considerá-los constantes.

Resposta:

$$f_x(x,y,z)=2xy-3y^2$$
$$f_y(x,y,z)=x^2-6xy+2z$$
$$f_z(x,y,z)=2y$$

Iradoooso, não é mesmo? Se você preferir temos conteúdo em vídeo também, confere esse outro exercício de derivadas parciais, retirado de uma prova da UNICAMP:

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

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Passo 1

Para calcular ∂ f ∂ x consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 1 z

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

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Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 0 + 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

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Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = e x y . 1 y ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . 2 x y . e x y

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y . - x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . - x 2 y 2 . e x y

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #4

UNICAMP, Cálculo II, Exame 2014 Noite, questão 1, item a.

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y ) , em que ϕ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .

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Passo 1

Queremos verificar essa relação, que envolve as derivadas parciais de u , então vamos calculá-las! Vamos ter que usar a regra da cadeia e a regra do produto:

∂ u ∂ x = 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y

Repare que x y = x y - 1 então, pra outra derivada parcial vamos ter:

∂ u ∂ y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x . - 1 y - 2

O que dá:

∂ u ∂ y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

Passo 2

-

Show de bola, agora vamos verificar a equação!

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = x 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y + y 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

Poxa, ficou tão grande :( Mas não adianta chorar, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas! Isso vai dar:

2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x y + 2 y ² . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y y 2

= 2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 x y ϕ ' x y + 2 y 2 . ϕ x y - x 2 + y 2 x y ϕ ' x y

Opa! Vai dar pra cortar 2 desses troços estranhos!

Então sobrou:

2 x 2 . ϕ x y + 2 y 2 . ϕ x y = 2 x 2 + 2 y 2 ϕ x y = 2 x 2 + y 2 ϕ x y = 2 u

Beleza! Conseguimos provar a equação! :D

Resposta

Exercício Resolvido #5

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 317, exercício 22.

Calcule as derivadas parciais da função

f x , y = ∑ n = 0 ∞ x y n     ,     x y < 1

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Passo 1

Essa é uma série geométrica

∑ n = 0 ∞ r n

Que converge quando r < 1 para

∑ n = 0 ∞ r n = f r = 1 1 - r

Sendo assim,

∑ n = 0 ∞ x y n = f x , y = 1 1 - x y

Pois   x y < 1

E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ x :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ x = - 1 - x y - 2 . ( - y )

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

Passo 3

Calculando ∂ f ∂ y :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ y = = - 1 - x y - 2 . ( - x )

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

Resposta

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

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