Teoria Completa
Opa! Fala ai, bem vindo ao RespondeAí! Que tal dar uma olhada em derivadas parciais e ficar craque nesse tópico de Cálculo que muitas vezes derrubam nossas notas na faculdade? Vamos lá!
As derivadas parciais aparecem quando começamos a estudar funções que tem mais de uma variável? Ué?, mais de uma!?! Siim, se liga, você já viu algo com essa carinha aqui:
Hmm.. Não é muito bonito, eu sei, mas você concorda comigo que é uma função de duas variáveis né? E perceba que se eu desse um valor para $x$ e um valor para $y$ nós poderíamos calcular o resultado dessa função tranquilamente. Por exemplo:
Show! Mas e se eu te pedisse para calcular a derivada dessa equação? Hm, você teria que se perguntar, em relação a qual variável eu quero calcular a derivada e é ai que surgem as derivadas parciais.
Quando calculamos a derivada de uma função que possuí mais de uma variável, precisamos escolher em relação a qual variável desejamos calcular a derivada. Por exemplo, a função a cima, que possuí duas variáveis, possui duas derivadas parciais diferente:
A derivada em relação a $x$:
E a derivada em relação a $y$:
Ta! Mas como calculamos cada uma delas? Vamos fazer um exemplo, que você vai ver que na prática é muito simples, e depois você pode conferir um ou dois exercícios no final da página!
Vamos começar calculando $f_x(x,y)$, ou seja, a derivada parcial da função $f(x,y)$ em relação a $x$:
Como $x$ é a variável em relação a quem estamos derivando, podemos considerar todas as outras variáveis da função como constantes.
Então para a primeira parcela da função eu teria:
Ou seja, considerei $y^3$ como como uma constante, e por isso ela se manteve igual após a derivada.
Para a segunda parcela, novamente derivando em relação a $x$:
Agora para a última parcela, novamente derivando em relação a $x$:
Aqui, não podemos esquecer da regra do peteleco e de pensar o $y$ como uma constante, por isso que ele aparece multiplicando quando derivamos $e^{xy}$ em relação a $x$.
Então, temos que:
Veja se você consegue utilizar, seus conhecimentos sobre derivação, e o exemplo que demos sobre a derivada parcial em relação a $x$, para chegar ao resultado de $f_y(x,y)$:
Não se esquece, que agora você vai ter que derivar em relação a $y$, e portanto vai ter que fingir que $x$ é uma constante!
Exercícios Derivadas Parciais
Vamos resolver um exercício com um função de três variáveis?
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Todas as resoluções de exercícios no nosso site são acompanhadas de um desenvolvimento do raciocínio Passo a Passo, para você nunca mais ficar perdido em uma questão.
Para o nosso exercício, temos que identificar as 3 derivadas parciais de primeira ordem que termos que calcular:
Passo 2
Agora vamos começar calculando nossa derivada parcial em relação a $x$:
Lembrando que tudo que não diz respeito a $x$ eu posso considerar um constante, por isso que o último termo some, porque derivada de constante vale zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a $y$:
Passo 4
Calculando em relação a $z$:
A derivada em relação a $z$ é a mais bobinha, mas é a que a galera mais costuma errar, reparem que os dois primeiros termos da função não tem a variável $z$ então quando estamos derivando em relação a $z$ podemos considerá-los constantes.
Resposta:
Iradoooso, não é mesmo? Se você preferir temos conteúdo em vídeo também, confere esse outro exercício de derivadas parciais, retirado de uma prova da UNICAMP:
Exercício Resolvido #1
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Para calcular consideramos e constantes:
Passo 2
Para calcular consideramos e constantes:
Passo 3
Para calcular consideramos e constantes:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 2
Calculando :
Regra do quociente:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine as derivadas parciais em relação a e a , para a seguinte função:
Passo 1
Calculando :
Regra do produto:
Passo 2
Calculando :
Regra do produto:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Seja , em que é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
Passo 1
Queremos verificar essa relação, que envolve as derivadas parciais de , então vamos calculá-las! Vamos ter que usar a regra da cadeia e a regra do produto:
Repare que então, pra outra derivada parcial vamos ter:
O que dá:
Passo 2
Show de bola, agora vamos verificar a equação!
Poxa, ficou tão grande :( Mas não adianta chorar, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas! Isso vai dar:
Opa! Vai dar pra cortar 2 desses troços estranhos!
Então sobrou:
Beleza! Conseguimos provar a equação! :D
Resposta
Exercício Resolvido #5
Calcule as derivadas parciais da função
Passo 1
Essa é uma série geométrica
Que converge quando para
Sendo assim,
Pois
E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!
Passo 2
Calculando :
Passo 3
Calculando :