Derivadas Parciais

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Teoria

Opa! Fala ai, bem vindo ao RespondeAí! Que tal dar uma olhada em derivadas parciais e ficar craque nesse tópico de Cálculo que muitas vezes derrubam nossas notas na faculdade? Vamos lá!

As derivadas parciais aparecem quando começamos a estudar funções que tem mais de uma variável? Ué?, mais de uma!?! Siim, se liga, você já viu algo com essa carinha aqui:

Hmm.. Não é muito bonito, eu sei, mas você concorda comigo que é uma função de duas variáveis né? E perceba que se eu desse um valor para e um valor para nós poderíamos calcular o resultado dessa função tranquilamente. Por exemplo:

Show! Mas e se eu te pedisse para calcular a derivada dessa equação? Hm, você teria que se perguntar, em relação a qual variável eu quero calcular a derivada e é ai que surgem as derivadas parciais.

Quando calculamos a derivada de uma função que possuí mais de uma variável, precisamos escolher em relação a qual variável desejamos calcular a derivada. Por exemplo, a função a cima, que possuí duas variáveis, possui duas derivadas parciais diferente:

A derivada em relação a :

E a derivada em relação a :

Ta! Mas como calculamos cada uma delas? Vamos fazer um exemplo, que você vai ver que na prática é muito simples, e depois você pode conferir um ou dois exercícios no final da página!

Vamos começar calculando , ou seja, a derivada parcial da função em relação a :

Como é a variável em relação a quem estamos derivando, podemos considerar todas as outras variáveis da função como constantes.

Então para a primeira parcela da função eu teria:

Ou seja, considerei como como uma constante, e por isso ela se manteve igual após a derivada.

Para a segunda parcela, novamente derivando em relação a :

Agora para a última parcela, novamente derivando em relação a :

Aqui, não podemos esquecer da regra do peteleco e de pensar o como uma constante, por isso que ele aparece multiplicando quando derivamos em relação a .

Então, temos que:

Veja se você consegue utilizar, seus conhecimentos sobre derivação, e o exemplo que demos sobre a derivada parcial em relação a , para chegar ao resultado de :

Não se esquece, que agora você vai ter que derivar em relação a , e portanto vai ter que fingir que é uma constante!

Exercícios Derivadas Parciais

Vamos resolver um exercício com um função de três variáveis?

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:

Passo 1

Todas as resoluções de exercícios no nosso site são acompanhadas de um desenvolvimento do raciocínio Passo a Passo, para você nunca mais ficar perdido em uma questão.
Para o nosso exercício, temos que identificar as 3 derivadas parciais de primeira ordem que termos que calcular:

Passo 2

Agora vamos começar calculando nossa derivada parcial em relação a :

Lembrando que tudo que não diz respeito a eu posso considerar um constante, por isso que o último termo some, porque derivada de constante vale zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Calculando em relação a :

A derivada em relação a é a mais bobinha, mas é a que a galera mais costuma errar, reparem que os dois primeiros termos da função não tem a variável então quando estamos derivando em relação a podemos considerá-los constantes.

Resposta:

Iradoooso, não é mesmo? Se você preferir temos conteúdo em vídeo também, confere esse outro exercício de derivadas parciais, retirado de uma prova da UNICAMP:

Exercícios Derivadas Parciais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Passo 1

Para calcular ∂ f ∂ x consideramos y e z constantes:

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 1 y 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Passo 2

Para calcular ∂ f ∂ y consideramos x e z constantes:

∂ f ∂ y = x 2 1 - 3 x 2 y + 2 1 z

⇒ ∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Passo 3

Para calcular ∂ f ∂ z consideramos x e y constantes:

∂ f ∂ z = 0 - 0 + 2 y ( 1 )

⇒ ∂ f ∂ z = 2 y

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

Exercício Resolvido #2

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

f x , y = x 3 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ x = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 2 x + 0 ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 2 x 2 + y 2 - 2 x x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ x = 3 x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x 4 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do quociente:

a b ' = a ' b - a b ' b 2

∂ f ∂ y = x 3 + y 2 ' ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ x 2 + y 2 ' x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 0 + 2 y ⋅ x 2 + y 2 - x 3 + y 2 ⋅ ( 0 + 2 y ) x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - 2 y x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2 - x 3 + y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 y ( x 2 - x 3 ) x 2 + y 2 2

⇒ ∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x = x 4 + 3 x 2 y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = 2 x 2 y ( 1 - x ) x 2 + y 2 2

Exercício Resolvido #3

Determine as derivadas parciais em relação a x e a y , para a seguinte função:

f x , y = e x y   l n x 2 y

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ x = e x y . 1 y ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . 2 x y . e x y

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

Regra do produto:

a . b ' = a ' . b + b ' . a

∂ f ∂ y = e x y . - x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 x 2 y . - x 2 y 2 . e x y

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Resposta

∂ f ∂ x = e x y 1 y ln ⁡ x 2 y + 2 x

∂ f ∂ y = - e x y x y 2 ln ⁡ x 2 y + 1 y

Exercício Resolvido #4

Calcule as derivadas parciais da função

f x , y = ∑ n = 0 ∞ x y n     ,     x y < 1

Passo 1

Essa é uma série geométrica

∑ n = 0 ∞ r n

Que converge quando r < 1 para

∑ n = 0 ∞ r n = f r = 1 1 - r

Sendo assim,

∑ n = 0 ∞ x y n = f x , y = 1 1 - x y

Pois   x y < 1

E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ x :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ x = - 1 - x y - 2 . ( - y )

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

Passo 3

Calculando ∂ f ∂ y :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ y = = - 1 - x y - 2 . ( - x )

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

Resposta

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

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