Derivadas Parciais
Teoria
Opa! Fala ai, bem vindo ao RespondeAí! Que tal dar uma olhada em derivadas parciais e ficar craque nesse tópico de Cálculo que muitas vezes derrubam nossas notas na faculdade? Vamos lá!
As derivadas parciais aparecem quando começamos a estudar funções que tem mais de uma variável? Ué?, mais de uma!?! Siim, se liga, você já viu algo com essa carinha aqui:
Hmm.. Não é muito bonito, eu sei, mas você concorda comigo que é uma função de duas variáveis né? E perceba que se eu desse um valor para
Show! Mas e se eu te pedisse para calcular a derivada dessa equação? Hm, você teria que se perguntar, em relação a qual variável eu quero calcular a derivada e é ai que surgem as derivadas parciais.
Quando calculamos a derivada de uma função que possuí mais de uma variável, precisamos escolher em relação a qual variável desejamos calcular a derivada. Por exemplo, a função a cima, que possuí duas variáveis, possui duas derivadas parciais diferente:
A derivada em relação a
E a derivada em relação a
Ta! Mas como calculamos cada uma delas? Vamos fazer um exemplo, que você vai ver que na prática é muito simples, e depois você pode conferir um ou dois exercícios no final da página!
Vamos começar calculando
Como
Então para a primeira parcela da função eu teria:
Ou seja, considerei
Para a segunda parcela, novamente derivando em relação a
Agora para a última parcela, novamente derivando em relação a
Aqui, não podemos esquecer da regra do peteleco e de pensar o
Então, temos que:
Veja se você consegue utilizar, seus conhecimentos sobre derivação, e o exemplo que demos sobre a derivada parcial em relação a
Não se esquece, que agora você vai ter que derivar em relação a
Exercícios Derivadas Parciais
Vamos resolver um exercício com um função de três variáveis?
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Todas as resoluções de exercícios no nosso site são acompanhadas de um desenvolvimento do raciocínio Passo a Passo, para você nunca mais ficar perdido em uma questão.
Para o nosso exercício, temos que identificar as 3 derivadas parciais de primeira ordem que termos que calcular:
Passo 2
Agora vamos começar calculando nossa derivada parcial em relação a
Lembrando que tudo que não diz respeito a
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
Passo 4
Calculando em relação a
A derivada em relação a
Resposta:
Iradoooso, não é mesmo? Se você preferir temos conteúdo em vídeo também, confere esse outro exercício de derivadas parciais, retirado de uma prova da UNICAMP:
Exercícios Derivadas Parciais
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.102. questão 5, MODIFICADA.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Para calcular consideramos e constantes:
Passo 2
Para calcular consideramos e constantes:
Passo 3
Para calcular consideramos e constantes:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Lista de Exercício de Cálculo II, seção 3.2, Exercício 98, Letra c
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Passo 1
Calculando :
Regra do quociente:
Passo 2
Calculando :
Regra do quociente:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UERJ, Cálculo II, Lista 2, Professora Renata, questão 1, item b.
Determine as derivadas parciais em relação a e a , para a seguinte função:
Passo 1
Calculando :
Regra do produto:
Passo 2
Calculando :
Regra do produto:
Resposta
Exercício Resolvido #4
George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 317, exercício 22.
Calcule as derivadas parciais da função
Passo 1
Essa é uma série geométrica
Que converge quando para
Sendo assim,
Pois
E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!
Passo 2
Calculando :
Passo 3
Calculando :
Resposta
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