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8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:

b) f ( x , y ) = 1 x 2 + y 2 + z 2 , mostrar que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 .

Passo 1

Para resolver este exercício, apenas precisamos calcular as derivadas e checar se a identidade e verdadeira. Desta forma temos:

f x , y = 1 x 2 + y 2 + z 2 → ∂ f ∂ x = - 1 2 x 2 + y 2 + z 2 3 . 2 x = - x x 2 + y 2 + z 2 3

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 . x 2 + y 2 + z 2 3 - - x . 6 x x 2 + y 2 + z 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 3 2

Simplificando, temos:

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 . x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 3 + x . 3 x x 2 + y 2 + z 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 3 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 . x 2 + y 2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 3 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3

∂ 2 f ∂ x 2 = - - 1 x 2 + y 2 + z 2 3 + 1 x 2 + y 2 + z 2 3   .     3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 x 2 + y 2 + z 2 3 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 7

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 x 2 + y 2 + z 2 3 + 3 x 2 √ x 2 + y 2 + z 2 5

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 x 2 + y 2 + z 2 3 . x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - 1 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 . + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ 2 f ∂ x 2 = - x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 . + 3 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5

As contas para as outras derivadas são idênticas, pois a função é simétrica. Essas derivadas são:

∂ 2 f ∂ y 2 = - x 2 + 2 y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5

∂ 2 f ∂ z 2 = - x 2 - y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5

Agora substituindo na identidade:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 2 x 2 - y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 + - x 2 + 2 y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 + - x 2 + 2 y 2 - z 2 x 2 + y 2 + z 2 5

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 2 x 2 - 2 x 2 + 2 y 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 5 = 0

Resposta

Identidade verificada acima.

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