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Mostre que a hipérbole x 2 - y 2 = 4 tem os mesmos focos que a elipse x 2 + 9 y 2 = 9 .

Passo 1

O primeiro passo é escrever as equações em um formato que facilite a extração de informações. Para a hipérbole:

x 2 - y 2 = 4

x 2 4 - y 2 4 = 1

x 2 2 2 - y 2 2 2 = 1

Podemos extrair os índices da hipérbole a h = 2 e b h = 2 . Também que é uma hiperbole com eixo principal horizontal, logo os focos estão nos pontos ( c h , 0 ) e ( - c h , 0 ) .

Organizaremos também a equação da elipse:

x 2 + 9 y 2 = 9

x 2 9 + 9 y 2 9 = 1

x 2 3 2 + y 2 1 2 = 1

Podemos extrair dessa equação as informações da elipse a e = 3 e b e = 1 . Também que a elipse tem eixo principal no eixo x, logo os focos estão localizados nos pontos c e ,   0 e ( - c e ,   0 )

Passo 2

Para provar que os focos estão na mesma posição, deve valer a igualdade c e = c h . Vamos descobrir os dois valores:

c e 2 = a e 2 - b e 2

c e 2 = 3 2 - 1 2

c e 2 = 9 - 1

c e = 8

c e = 2 2

Agora para a hiperbole:

c h 2 = a h 2 + b h 2

c h 2 = 2 2 + 2 2

c h 2 = 4 + 4

c h = 8

c h = 2 2

Passo 3

Comparando os valores de c e e c h percebemos que eles são iguais, logo os focos coincidem.

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