Enunciado

Prove que os gráficos de r= a θ e r θ = a têm um numero ilimitado de pontos de intersecção. Pronve também que as retas tangentes a esses pontos são perpendiculares.

Passo 1

Podemos adotar o r dado como uma curva polar, logo, o nosso r = a θ e r θ = a são inversos, com isso podemos transformar essas curvas polares em curvas no domínio cartesiano. Com as nossas transformações básicas de cartesiano para polar e vice-versa.

Passo 2

Temos então que nosso x 1 = a θ cos ⁡ c o s θ e que o nosso x 2 = a θ   c o s ⁡ ( θ ) ,   logo derivando nossos x e y, obtermos as retas tangentes das duas curvas polares.

d x d y = d y d θ d x d θ   = a s e n θ + a θ cos ⁡ θ a θ s e n ( θ )

Passo 3

Portanto, vamos ao esboço com a reta indicada:

Estando assim, provado que ele toca em infinitos pontos.

Resposta

y = 2.1 x

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Nos exercícios de 13 a 20, coloque num gráfico o ponto com coordenadas polares dadas; dê, então, dois outros conjuntos de coordenadas polares para o mesmo ponto; um com o mesmo valor de r e outro com
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