Encontre a derivada da função.

59) y = ∫ cos ⁡ x s e n   x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos pensar no que precisamos achar. Neste caso, devemos achar a derivada da função y.

Como faremos? Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas para poder usá-lo, devemos ter somente uma variável por integral. Então vamos manipular um pouquinho, ok?

∫ cos ⁡ x s e n   x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v = ∫ cos ⁡ x 0 ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v + ∫ 0 s e n   x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Ainda não está bem no formato que precisamos, então bora manipular mais um pouco:

= - ∫ 0 cos ⁡ x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v + ∫ 0 s e n   x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Agora sim ! Vamos resolver separadamente cada uma.

Passo 2

Começando por:

h x = - ∫ 0 cos ⁡ x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Vamos fazer uma substituição:

u = cos ⁡ x

Se queremos a derivada de h em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d h ( x ) d x = d h ( x ) d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar h(x) em função de u:

d h ( x ) d u = - ∫ 0 u ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

d h ( x ) d u = - ln ⁡ ( 1 + 2 u )

Substituindo u:

d h ( x ) d u = - ln ⁡ ( 1 + 2 . cos ⁡ x )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = - s e n   x

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

h ' x = - s e n   x × - ln ⁡ ( 1 + 2 . cos ⁡ x )

Então:

h ' x = s e n   x . ln ⁡ ( 1 + 2 . cos ⁡ x )

Ok! Finalizamos a primeira integral, mas F é composta de duas !

Passo 3

Agora vamos para :

t x = ∫ 0 s e n   x ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Vamos fazer uma substituição:

u = s e n   x

Se queremos a derivada de t em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d t ( x ) d x = d t ( x ) d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar t(x) em função de u:

d t ( x ) d u = ∫ 0 u ln ⁡ ( 1 + 2 v ) . d v

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

d t ( x ) d u = ln ⁡ ( 1 + 2 u )

Substituindo u:

d t ( x ) d u = ln ⁡ ( 1 + 2 . s e n   x )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = cos ⁡ x

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

t ' x = cos ⁡ x . ln ⁡ ( 1 + 2 . s e n   x )

Ufaa! Agora vamos juntar!

y ' = s e n   x . ln ⁡ ( 1 + 2 . cos ⁡ x ) + cos ⁡ x . ln ⁡ ( 1 + 2 . s e n   x )

Prontinhoo!

Resposta

y ' = s e n   x . ln ⁡ ( 1 + 2 . cos ⁡ x ) + cos ⁡ x . ln ⁡ ( 1 + 2 . s e n   x )

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