Enunciado

Encontre a derivada da função.

59) y = int_(cos x)^(s e n x) ln ( 1 + 2 v ) . d v

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos pensar no que precisamos achar. Neste caso, devemos achar a derivada da função y.

Como faremos? Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas para poder usá-lo, devemos ter somente uma variável por integral. Então vamos manipular um pouquinho, ok?

int_(cos x)^(s e n x) ln ( 1 + 2 v ) . d v = int_(cos x)^0 ln ( 1 + 2 v ) . d v + int_0^(s e n x) ln ( 1 + 2 v ) . d v

Ainda não está bem no formato que precisamos, então bora manipular mais um pouco:

= - int_0^(cos x) ln ( 1 + 2 v ) . d v + int_0^(s e n x) ln ( 1 + 2 v ) . d v

Agora sim ! Vamos resolver separadamente cada uma.

Passo 2

Começando por:

h (x) = - int_0^(cos x) ln ( 1 + 2 v ) . d v

Vamos fazer uma substituição:

u = cos x

Se queremos a derivada de h em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d h ( x ))/(d x) = (d h ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar h(x) em função de u:

(d h ( x ))/(d u) = - int_0^u ln ( 1 + 2 v ) . d v

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d h ( x ))/(d u) = - ln ( 1 + 2 u )

Substituindo u:

(d h ( x ))/(d u) = - ln ( 1 + 2 . cos x )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = - s e n x

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

h^' (x) = - s e n x xx - ln ( 1 + 2 . cos x )

Então:

h^' (x) = s e n x . ln ( 1 + 2 . cos x )

Ok! Finalizamos a primeira integral, mas F é composta de duas !

Passo 3

Agora vamos para :

t (x) = int_0^(s e n x) ln ( 1 + 2 v ) . d v

Vamos fazer uma substituição:

u = s e n x

Se queremos a derivada de t em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d t ( x ))/(d x) = (d t ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar t(x) em função de u:

(d t ( x ))/(d u) = int_0^u ln ( 1 + 2 v ) . d v

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d t ( x ))/(d u) = ln ( 1 + 2 u )

Substituindo u:

(d t ( x ))/(d u) = ln ( 1 + 2 . s e n x )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = cos x

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

t^' (x) = cos x . ln ( 1 + 2 . s e n x )

Ufaa! Agora vamos juntar!

y ' = s e n x . ln ( 1 + 2 . cos x ) + cos x . ln ( 1 + 2 . s e n x )

Prontinhoo!

Resposta

y ' = s e n x . ln ( 1 + 2 . cos x ) + cos x . ln ( 1 + 2 . s e n x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_(- 2)^(- 1) (4 y^3 + (2)/(y^3)) d y
Calcule a integral. ∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θd θ
Calcule a integral.int_0^5 (2 e^x + 4 cos x) d x
Calcule a integralint_1^4 sqrt((5)/(x)) . d x
Calcule a integral.int_((pi)/(4))^((pi)/(3)) ( sec theta - tg theta ) d theta