Enunciado

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Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

{ ( x , y ) | x 2 + y 2 ≤ 1   o u   4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9 }

Passo 1

O conjunto dado pode ser representado pela parte pintada no gráfico

Que é dividida em duas partes, uma limitada por x 2 + y 2 = 1 e a outra entre x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9 , possuindo todos os pontos de fronteira.

  1. Ele é aberto? De forma prática, podemos dizer que para ser aberto o conjunto não pode conter os valores de fronteira, então ele não é aberto.
  2. Passo 2

  3. Para ser conexo, precisamos de um caminho qualquer que ligue dois pontos genéricos, de forma que esse caminho esteja todo contido no conjunto. Mas o que bulhufas isso quer dizer? Basicamente o conjunto não pode estar dividido em pedaços desconectados.
  4. Como nossa restrição divide a área em duas, ele não é conexo.

    Passo 3

  5. Para ser simplesmente conexo ele precisa primeiramente ser conexo, então ele não é.

Resposta

  1. Não
  2. Não
  3. Não

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